Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 6 Метод Жордана — Гаусса для линейных систем 59
Удаляя нулевые строки в матрице, представляющей собой вид
Ж.—Г. для матрицы B, мы получим матрицу B
00
вида (6.2). За-
пишем систему, соответствующую этой матрице:
x
1
+h
1(r+1)
x
r+1
+ h
1(r+2)
x
r+2
+ ... + h
1n
x
n
= β
1
;
x
2
+h
2(r+1)
x
r+1
+ h
2(r+2)
x
r+2
+ ... + h
2n
x
n
= β
2
;
.
.
.
..........................................................................
x
r
+h
r(r+1)
x
r+1
+ h
r(r+2)
x
r+2
+ ... + h
rn
x
n
= β
r
.
Решим полученную систему относительно главных неизвестных и
добавим к ответу тавтологические уравнения x
j
= x
j
для каждой
свободной неизвестной. (Эти тавтологии выражают тот факт, что
свободные неизвестные совершенно произольны.) Будем иметь:
x
1
= −h
1(r+1)
x
r+1
−h
1(r+2)
x
r+2
− .... −h
1n
x
n
+β
1
;
x
2
= −h
2(r+1)
x
r+1
−h
2(r+2)
x
r+2
− .... −h
2n
x
n
+β
2
;
............................................................................
x
r
= −h
r(r+1)
x
r+1
−h
r(r+2)
x
r+2
− .... −h
rn
x
n
+β
r
;
x
r+1
= x
r+1
;
x
r+2
= x
r+2
;
....... ... ....
x
n
= x
n
,
или, в векторной форме:
¯x = x
r+1
−h
1(r+1)
−h
2(r+1)
...
−h
r(r+1)
1
0
...
0
+x
r+2
−h
1(r+2)
−h
2(r+2)
...
−h
r(r+2)
0
1
...
0
+...+x
n
−h
1n
−h
2n
...
−h
rn
0
0
...
1
+
β
1
β
2
...
β
r
0
0
...
0
.
Обозначая n−r +1 векторов в правой части последнего равенства
символами
¯
f
r+1
,
¯
f
r+2
, . . . ,
¯
f
n
, ¯x
0
, получим формулу (6.3).
Проанализируем смысл введенных векторов. Если приравнять
нулю все свободные неизвестные, то в ответе останется только по-
следний вектор ¯x
0
. Следовательно, этот вектор представляет собой
частное решение неоднородной системы. (В примерах § 4 этому век-
тору уже присвоено было наименование опорное ч.р.н.)
§6        Метод Жордана — Гаусса для линейных систем                                               59

  Удаляя нулевые строки в матрице, представляющей собой вид
Ж.—Г. для матрицы B, мы получим матрицу B 00 вида (6.2). За-
пишем систему, соответствующую этой матрице:
 
 
  x1               +h1(r+1) xr+1 + h1(r+2) xr+2 + ... + h1n xn = β1 ;
 
      x            +h       x    +h        x    + ... + h x = β ;
          2                     2(r+1) r+1             2(r+2) r+2                    2n n          2

             ..
 
                  .        ..........................................................................
 
                       xr   +hr(r+1) xr+1 + hr(r+2) xr+2 + ... + hrn xn = βr .

   Решим полученную систему относительно главных неизвестных и
добавим к ответу тавтологические уравнения xj = xj для каждой
свободной неизвестной. (Эти тавтологии выражают тот факт, что
свободные неизвестные совершенно произольны.) Будем иметь:
  
     x1    = −h1(r+1) xr+1 −h1(r+2) xr+2 − .... −h1n xn +β1 ;
  
  
  
     x2    = −h2(r+1) xr+1 −h2(r+2) xr+2 − .... −h2n xn +β2 ;
  
  
  
   ............................................................................
  
      xr    = −hr(r+1) xr+1 −hr(r+2) xr+2 − .... −hrn xn +βr ;
  
   xr+1 =                  xr+1                                                 ;
  
  
  
   xr+2 =                                     xr+2                              ;
  
  
   ....... ...
                                                        ....
     xn     =                                                        xn          ,

или, в векторной форме:
                                                    
            −h1(r+1)          −h1(r+2)            −h1n     β1
           −h2(r+1)        −h2(r+2)          −h2n   β2 
                                                    
             ...             ...             ...   ... 
                                                    
           −hr(r+1)        −hr(r+2)          −hrn   βr 
x̄ = xr+1           +xr+2           +...+xn       +  .
              1               0              0   0 
                                                    
              0               1              0   0 
                                                    
              ...               ...                ...     ...
               0                 0                  1       0

  Обозначая n − r + 1 векторов в правой части последнего равенства
символами f¯r+1 , f¯r+2 , . . . , f¯n , x̄0 , получим формулу (6.3).
  Проанализируем смысл введенных векторов. Если приравнять
нулю все свободные неизвестные, то в ответе останется только по-
следний вектор x̄0 . Следовательно, этот вектор представляет собой
частное решение неоднородной системы. (В примерах § 4 этому век-
тору уже присвоено было наименование опорное ч.р.н.)

Страницы