Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Типовые задачи 69
7.2. Линейные матричные уравнения. Рассмотрим уравне-
ние вида
A
m×n
· X = B
m×p
(7.2)
с неизвестной матрицей X. Размеры этой матрицы однозначно вос-
станавливаются по заданным размерам матриц A и B: для того что-
бы умножение в левой части было возможным и результат имел
размеры, указанные в правой части, необходимо, чтобы X была
(n × p)-матрицей. Решение таких (и более сложных) линейных урав-
нений является стандартной задачей на практических занятиях по
курсу алгебры.
Покажем, как уравнение (7.2) с неизвестной матрицей X заме-
нить на равносильное уравнение вида (1.10) с неизвестным векто-
ром-столбцом ¯x. Можно (как это фактически и делает компьютер)
переформатировать матрицу X в столбец
¯x
(n·p)×1
=
¯x
1
¯x
2
.........
¯x
p
∈ R
n·p
,
где
¯x
k
=
x
1k
x
2k
........
x
nk
∈ R
n
, k = 1, ..., p
— столбцы матрицы X.
Аналогичным образом переформатируем матрицу B:
¯
b
(m·p)×1
=
¯
b
1
¯
b
2
.........
¯
b
p
∈ R
m·p
,
где
¯
b
k
=
b
1k
b
2k
........
b
mk
∈ R
m
, k = 1, ..., p.
Вспоминая определение умножения матриц [см. формулу (1.6)],
мы можем придать теперь левой части матричного уравнений (7.2)
следующий вид:
A · X = (A · ¯x
1
| A · ¯x
2
| . . . | A · ¯x
p
) .
§7                         Типовые задачи                          69

  7.2. Линейные матричные уравнения. Рассмотрим уравне-
ние вида
                     A ·X = B                      (7.2)
                             m×n            m×p

с неизвестной матрицей X. Размеры этой матрицы однозначно вос-
станавливаются по заданным размерам матриц A и B: для того что-
бы умножение в левой части было возможным и результат имел
размеры, указанные в правой части, необходимо, чтобы X была
(n × p)-матрицей. Решение таких (и более сложных) линейных урав-
нений является стандартной задачей на практических занятиях по
курсу алгебры.
   Покажем, как уравнение (7.2) с неизвестной матрицей X заме-
нить на равносильное уравнение вида (1.10) с неизвестным векто-
ром-столбцом x̄. Можно (как это фактически и делает компьютер)
переформатировать матрицу X в столбец
                                                 
                                           x̄1
                                       x̄ 
                          x̄ =  2  ∈ Rn·p ,
                       (n·p)×1          .........
                                           x̄p
где
                                      
                                x1k
                           x 
                   x̄k =  2k  ∈ Rn , k = 1, ..., p
                              ........
                               xnk
— столбцы матрицы X.
   Аналогичным образом переформатируем матрицу B:
                                                 
                                           b̄1
                                       b̄2 
                          b̄     =   
                                                   ∈ Rm·p ,
                                                  
                      (m·p)×1           .........
                                           b̄p
где
                                     
                               b1k
                          b          
                  b̄k =  2k  ∈ Rm , k = 1, ..., p.
                             ........
                              bmk
  Вспоминая определение умножения матриц [см. формулу (1.6)],
мы можем придать теперь левой части матричного уравнений (7.2)
следующий вид:
                A · X = (A · x̄1 | A · x̄2 | . . . | A · x̄p ) .

Страницы