Алгебра : Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

70 Системы линейных уравнений и алгебра матриц Гл. 1
Правую часть уравнения также запишем по столбцам:
B =
³
¯
b
1
¯
¯
¯
¯
b
2
¯
¯
¯
. . .
¯
¯
¯
¯
b
p
´
.
Видим, что матричное уравнение (7.2) оказывается равносильным
системе векторных уравнений
A · ¯x
k
=
¯
b
k
; k = 1, ..., p ,
которую, с использованием вектора ¯x, можно переписать в виде од-
ного векторного уравнения
A ·
¯
x =
¯
b (7.3)
с новой матрицей, которая приводится ниже в блочном виде:
A
(m·p)×(n·p)
=
A O ... O
O A ... O
... ... ... ...
O O ... A
.
[Попробуйте сами перемножить матрицу A и вектор ¯x. Хотя те-
перь в качестве "элементов" фигурируют не числа, а целые блоки,
правило умножения (1.6) сохраняется. Вам предлагается самим осо-
знать, почему это так.]
Пример 7.2. Решим матричное уравнение вида (7.2) с данными
матрицами:
A =
µ
1 0 2
1 −1 3
; B =
µ
1 1
−1 0
.
Элементы неизвестной (3 × 2)-матрицы X сразу занумеруем "под
столбец" ¯x:
X =
x
1
x
4
x
2
x
5
x
3
x
6
.
Выпишем векторное уравнение вида (7.3), соответствующее ис-
ходному матричному уравнению:
1 0 2 0 0 0
1 −1 3 0 0 0
0 0 0 1 0 2
0 0 0 1 −1 3
·
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
=
1
−1
1
0
.
70       Системы линейных уравнений и алгебра матриц                Гл. 1

     Правую часть уравнения также запишем по столбцам:
                            ³ ¯ ¯            ¯ ´
                               ¯ ¯           ¯
                       B = b̄1 ¯ b̄2 ¯ . . . ¯b̄p .

  Видим, что матричное уравнение (7.2) оказывается равносильным
системе векторных уравнений
                      A · x̄k = b̄k ; k = 1, ..., p ,
которую, с использованием вектора x̄, можно переписать в виде од-
ного векторного уравнения
                               A · x̄ = b̄                           (7.3)
с новой матрицей, которая приводится         ниже в блочном виде:
                                                     
                                A O           ... O
                              O A            ... O 
                     A       =                       .
                 (m·p)×(n·p)    ... ...       ... ...
                                O O           ... A
  [Попробуйте сами перемножить матрицу A и вектор x̄. Хотя те-
перь в качестве "элементов" фигурируют не числа, а целые блоки,
правило умножения (1.6) сохраняется. Вам предлагается самим осо-
знать, почему это так.]
  Пример 7.2. Решим матричное уравнение вида (7.2) с данными
матрицами:      µ         ¶       µ       ¶
                  1 0 2             1 1
             A=             ; B=            .
                  1 −1 3            −1 0
   Элементы неизвестной (3 × 2)-матрицы X сразу занумеруем "под
столбец" x̄:                        
                               x1 x4
                       X =  x2 x5  .
                               x3 x6
  Выпишем векторное уравнение вида (7.3), соответствующее ис-
ходному матричному уравнению:
                                  
                                   x1
                                             
            1 0 2 0 0 0           x2        1
                                  
           1 −1 3 0 0 0   x3   −1 
                             · =           .
            0 0 0 1 0 2           x4        1
                                  
            0 0 0 1 −1 3           x5         0
                                   x6

Страницы