Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 186 стр.

186   Линейные отображения конечномерных пространств         Гл. 2

      § 15. Теоремы о линейных гомоморфизмах

   15.1. Первая теорема о линейных гомоморфизмах. В об-
щей алгебре важную роль играют так называемые теоремы о гомо-
морфизмах. Они сходным образом формулируются для различных
типов алгебраических объектов: групп, колец и т. п. Мы изучаем ли-
нейные пространства. В этом случае формулировки теорем о гомо-
морфизмах имеют некоторые особенности: их можно сделать проще
(хотя не исключается и более абстактный, "общий" вариант). В на-
ши планы (в данном семестре) не входит изучение общей алгебры,
но мы надеемся, что те из читателей, которым в будущем придется
заниматься гомоморфизмами групп и/или колец, вспомнят приводи-
мые здесь версии теорем о гомоморфизмах линейных пространств,
или, что то же, — о линейных отображениях.

   Теорема 15.1 (первая теорема о линейных гомоморфизмах).
Пусть V и W — линейные пространства над одним и тем же по-
лем P, ϕ — линейный гомоморфизм из V в W, N = Ker(ϕ) — его
ядро.
   1. Значения гомоморфизма ϕ на векторах x, y ∈ V совпадают
тогда и только тогда, когда разность этих векторов принадлежит N,
т. е.
                   [ ϕ(x) = ϕ(y) ] ⇔ [ y − x ∈ N ].         (15.1)

  2. Гомоморфизм ϕ является мономорфизмом тогда и только то-
гда, когда его ядро тривиально, т. е. N = O.

   Доказательство. 1. Равенство ϕ(x) = ϕ(y) равносильно равен-
ству ϕ(y) − ϕ(x) = 0 и, далее, в силу линейности ϕ, — равенству
ϕ(y − x) = 0, т. е. факту принадлежности разности u = y − x ядру N.
   2. Пусть ϕ — мономорфизм, т. е. является инъективным отобра-
жением. Тогда, в частности, в нуль может перейти только нуль, а
значит N = Ker(ϕ) состоит лишь из нулевого вектора.
   Обратно, пусть N = O. тогда, в силу первой части данного пред-
ложения, равенство ϕ(x) = ϕ(y) равносильно x = y, что свидетель-
ствует об инъективности (мономорфности) ϕ. ¤

  Замечание 15.1. Первое утверждение теоремы 15.1 можно тракто-
вать следующим образом. Линейное отображение работает "послой-
но": ядро N целиком отображается в нуль, всякий слой (аффинное
подпространство x + N ) целиком отображается в одну точку ϕ(x).