Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 187 стр.

§ 15          Теоремы о линейных гомоморфизмах                 187

[Напомним (см. [A1 , п. 3.2]), что аффинное подпространство опре-
деляются как сдвиг на какой-либо вектор линейного подпростран-
ства.] В случае мономорфизма как ядро, так и все слои яляются
одноточечными.
  Терема 15.1, вместе с настоящим замечанием, иллюстрируется
рис. 15.1 в прил. 2.
   15.2. Вторая теорема о линейных гомоморфизмах. Первая
теорема о линейных гомоморфизмах является совершенно элемен-
тарным фактом, справедливым, кстати, для произвольных (не обя-
зательно конечномерных) линейных пространств. Это утверждение
громко именуется теоремой исключительно по традиции. Вторая
теорема — значительно более содержательна и (в приводимой здесь
формулировке) имеет место только для конечномерных линейных
пространств.
  Теорема 15.2 (вторая теорема о линейных гомоморфизмах).
Пусть V и W — конечномерные линейные пространства над по-
лем P, ϕ — линейный гомоморфизм из V в W, N = Ker(ϕ) — его
ядро, N 0 — какое-либо прямое дополнение к подпространству N в
пространстве V,¯ M = Im(ϕ) — образ гомоморфизма ϕ. Рассмотрим
сужение ϕ 0 = ϕ¯N 0 гомоморфизма ϕ на подпространство N 0 .
  Тогда ϕ 0 является изоморфизмом N 0 на M.
  Доказательство. Очевидно, образ сужения Im(ϕ 0 ) содержится
в M = Im(ϕ). Докажем, что эти подпространства на самом деле
равны.
  Возьмем любой вектор y = ϕ(x) ∈ M. Вектор x ∈ V = N ⊕ N 0 ,
по определению прямой суммы, однозначно представляется в виде
x = u + v, где u ∈ N и v ∈ N 0 . Поскольку ϕ(u) = 0, мы получаем:

               y = ϕ(u + v) = ϕ(v) = ϕ 0 (v) ∈ Im(ϕ 0 ),

что и требовалось.
  Таким образом, ϕ 0 можно рассматривать как эпиморфизм

                 ϕ 0 : N 0 −→ M ; v 7→ ϕ(v); v ∈ N 0 .        (15.2)

   Рассмотрим ядро эпиморфизма (15.2). Если вектор v ∈ N 0 при-
надлежит Ker(ϕ 0 ), то, поскольку ϕ 0 действует так же, как ϕ, полу-
чаем, что v ∈ Ker(ϕ) = N. Но N ∩ N 0 = O, значит v = 0. Приходим
к выводу о тривиальности ядра ϕ 0 . Следовательно, по теореме 15.1,
ϕ 0 является моно-, а значит, и изоморфизмом. ¤