Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 189 стр.

§ 15         Теоремы о линейных гомоморфизмах                189

   Доказательство. В силу предложения 9.4, подпространство U ,
независмое с подпространством N, расширяется до некоторого пря-
мого дополнения N 0 к N . Согласно теореме 15.2, сужение ϕ на N 0
является изоморфизмом на образ ϕ(N 0 ) = ϕ(V ) = M.
   Любое сужение изоморфизма также является изоморфизмом — на
свой образ. Значит, можно утверждать, что является изоморфизмом
отображение (15.5). ¤

   Замечание 15.5 ∗ (для служебного пользования). Обращаясь к
опытным читателям, уточним особые черты теорем о гомоморфиз-
мах, присущие конечномерной линейной алгебре и не характерные
для общей алгебры. (Мы упоминали о том, что такие особенности
имеются, в начале данного пункта.)
   В теориях групп, колец и многих других типов алгебраических
систем подобъекты (подгруппы, подкольца и т. д.) не обязаны иметь
прямые дополнения (которым полагается тривиально пересекаться с
данным подобъектом).
   Определенной заменой прямым дополнениям могут служить так
называемые фактор-объекты, которые имеют даже некоторые пре-
имущества: в отличие от дополнений, они определены однозначно.
(Однако фактор-объекты уже не являются подобъектами в данном
объекте.)
   Идея факторизации является одной из самых выдающихся и пло-
дотворных идей в математике. По сути она очень проста и сводится
к отождествлению элементов по подходящему отношению эквива-
лентности. Но, как показывает опыт, уровень абстрагирования при
реализации этой идеи "зашкаливает" возможности первокурсников.
   Так что, хотя в наших основных учебниках [1] и [2] понятие фак-
тор-пространства появляется уже на первых страницах, мы пред-
почитаем отложить обстоятельное знакомство с ним до второго кур-
са. (Не в последнюю очередь это связано с тем, что компьютерщики
являются обычно людьми весьма "конкретными".)
   15.3. Критерии эпи-(моно-, изо-)морфности. Линейный го-
моморфизм ϕ : V → W конечномерных линейных пространств [раз-
мерностей dim(V ) = n и dim(W ) = m] является эпиморфизмом тогда
и только тогда, когда Im(ϕ) = W.
   Если в некоторых базисах оператор ϕ задается (m × n)-матри-
цей A ранга r, то условие эпиморфности можно выразить числовым
равенством r = m. (В этом случае мы говорим, что матрица A имеет
полный ранг по строкам.)