Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 191 стр.

§ 15             Теоремы о линейных гомоморфизмах                    191

   Сформулированные выше условия используют лишь одну число-
вую характеристику матрицы — ее ранг (или же — связанный с
ним — дефект). Однако для л.э. существуют и другие инструменты
исследования их свойств, главным из которых можно назвать опре-
делитель (детерминант); см. п. 13.9. Напомним, что определитель
л.э. считается равным определителю его матрицы в каком-либо ба-
зисе (от выбора базиса результат не зависит).
   Л.э. является обратимым (необратимым) тогда и только тогда,
когда его определитель отличен от нуля (равен нулю). Это сразу
следует из аналогичного факта для матриц.
   Кроме того, можно выразить интересующие нас условия на языке
однородных с.л.у.: невырожденность (вырожденность) матрицы A
равносильна отсутствию (наличию) у системы A · x = 0 нетривиаль-
ных решений.
   Соберем все упоминавшиеся выше критерии обратимости (необ-
ратимости) для эндоморфизмов в виде следующей сводки.

       У с л о в и я о б р а т и м о с т и (н е о б р а т и м о с т и)
              для линейных эндоморфизмов

Линейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ), заданный (n × n)-матрицей A,
обратим тогда и только тогда,         необратим тогда и только тогда,
когда выполнено любое из              когда выполнено любое из
равносильных условий:                 равносильных условий:
---------------------                 ------------------------
Ker(ϕ) = O;                           Ker(ϕ) 6= O;
dfc(ϕ) = 0;                           dfc(ϕ) > 0;
Im(ϕ) = V ;                           Im(ϕ) 6= V ;
rank(ϕ) = n;                          rank(ϕ) < n;
det(ϕ) 6= 0;                          det(ϕ) = 0;

dfc(A) = 0;                           dfc(A) > 0;
rank(A) = n;                          rank(A) < n;
det(A) 6= 0;                          det(A) = 0;

с.л.у. A · x = 0 имеет                с.л.у. A · x = 0 имеет
лишь тривиальное решение.             нетривиальное решение.