Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 193 стр.

§ 16   Собственные значения и собственные подпространства    193

   Прокомментируем данное выше определение. Согласно ему, ска-
ляр λ принадлежит спектру оператора ϕ тогда и только тогда, когда
найдется ненулевой вектор x ∈ V \{0} такой, что выполняется равен-
ство (16.1). Это равенство можно (с привлечением тождественного
эндоморфизма ε) представить в виде ϕ(x) − λε(x) = 0, или же
                          (ϕ − λε)(x) = 0.                  (16.2)
  Уравнение (16.2) равносильно факту принадлежности вектора x
ядру оператора (эндоморфизма) ϕ − λε. Таким образом, x удовле-
творяет (16.1) тогда и только тогда, когда
                          x ∈ Ker(ϕ − λε).                  (16.3)
  Далее, скаляр λ принадлежит σ(ϕ) в том и только том случае,
когда найдется ненулевой вектор x, удовлетворяющий (16.1), или,
что равносильно, принадлежащий Ker(ϕ−λε). Выходит, что принад-
лежность λ спектру равносильна тому, что указанное ядро является
ненулевым:
                 [ λ ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ Ker(ϕ − λε) 6= O ].      (16.4)
   Ядро любого линейного оператора является линейным подпро-
странством; оно может быть нулевым или ненулевым. Согласно
сводке условий обратимости (необратимости) для линейных эндо-
морфизмов (см. п. 15.4), нетривиальность ядра в (16.4) равносильна
необратимости л.э. ϕ − λε. Поэтому
        [ λ ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ эндоморфизм ϕ − λε необратим ].    (16.5)
   Подпространство Ker(ϕ − λε) в случае, когда оно является нену-
левым, содержит все собственные векторы для л.э. ϕ, отвечающие
собственному значению λ, и, кроме них, это подпространство содер-
жит лишь нулевой вектор, который, по определению, собственным
вектором не считается. В связи с этим дается следующее
  Определение 16.2. Пусть λ ∈ σ(ϕ). Собственным подпрост-
ранством, отвечающим собственному значению λ, называется ядро
оператора ϕ − λε. Используется обозначение:
                        Sλ (ϕ) = Ker(ϕ − λε).               (16.6)

  По построению, всякое собственное подпространство является не-
нулевым. Резюмируем полученные результаты в следующем пред-
ложении.