Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 195 стр.

§ 16   Собственные значения и собственные подпространства           195

    Пример 16.4. Выйдем с нашим оператором поворота в трехмер-
ный мир V = R3 , в евклидово пространство с естественным базисом
[e1 , e2 , e3 ] и координатами x1 , x2 , x3 (в аналитической геометрии вы
привыкли к ~i, ~j, ~k и x, y, z). Поворот ϕ = rα будем производить
вокруг "вертикальной оси" Ox3 , которую мы (со своей алгебраиче-
ской точки зрения) будем понимать как линейное подпространство
W = he3 i . Рассмотрим также "горизонтальную плоскость" Ox1 x2 —
как подпространство U = he1 , e2 i .
    Все векторы подпространства W остаются при действии ϕ непо-
движными, т. е. являются для этого оператора собственными век-
торами, отвечающими собственному значению λ = 1. Все остальные
векторы реально поворачиваются и, в силу предположения α 6= πk,
не могут переходить в себе пропорциональные.
    Так что, σ(ϕ) = {1} и S1 (ϕ) = W.
   Пример 16.5. Останемся еще немного в "сфере влияния" гео-
метрии и сохраним обозначения предыдущего примера. Но эндомор-
физм будем рассматривать другой. А именно, определим оператор
ψ : V → V как ортопроектор на плоскость U : под действием ψ
всякий вектор x ∈ V переходит в свою ортопроекцию x0 ∈ U.
   При проектировании векторы из U остаются неподвижными и,
следовательно, они составят собственное подпространство S1 (ϕ). Ве-
кторы из W проектируются в нуль, они составляют ядро операто-
ра ψ, которое (см. пример 16.2) есть не что иное, как собственное
подпространство S0 (ψ). Больше собственных векторов нет.
   Итог: σ(ψ) = {0, 1}; S0 (ψ) = W ; S1 (ψ) = U.
  Пример 16.6. Теперь нам предстоит небольшая "интервенция"
на территорию, подконтрольную математическому анализу. Рас-
смотрим оператор дифференцирования ϕ = 0 как л.э. (бесконечно-
мерного) пространства гладких функций C ∞ (R, R):

                ϕ(f ) (x) = f 0 (x); f ∈ C ∞ (R, R); x ∈ R.        (16.9)

  Для любого скаляра λ ∈ R существует ненулевая гладкая функ-
ция f , такая, что
                        f 0 (x) = λf (x).              (16.10)

   Нужную функцию вы сами легко угадаете:

                               f (x) = eλx .                     (16.11)