Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

196 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Можно доказать, что множество всех решений дифференциально-
го уравнения (16.10) исчерпывается функциями ae
λx
(a ∈ R), про-
порциональными экспоненте (16.11). [В специальной математиче-
ской дисциплине "Дифференциальные уравнения", которую вы ско-
ро начнете изучать, устанавливаются общие теоремы о существова-
нии и единственности решений для таких уравнений.]
В результате оказывается, что любое действительное число яв-
ляется собственным значением для оператора дифференцирования
(16.9), а соответствующие собственные подпространства являются
одномерными, с порождающими (16.11):
σ(
0
) = R; S
λ
(
0
) =
e
λx
®
(λ ∈ R). (16.12)
Пример 16.7. Картина резко меняется, если оператор диффе-
ренцирования рассмотреть на (более узком, но тоже бесконечномер-
ном) пространстве многочленов W = R[x]. Поскольку при диффе-
ренцировании степень ненулевого многочлена уменьшается на еди-
ницу, то результат может оказаться пропорциональным исходному
многочлену лишь в случае многочленов нулевой степени (констант).
Коэффициентом пропорциональности в этом случае будет нуль. Та-
ким образом, нуль является единственным собственным значением,
а соответствующее собственное подпространство состоит из всех кон-
стант.
Этот вывод сохраняется, если, вместо бесконечномерного прост-
ранства всех многочленов, рассматривать конечномерное простран-
ство R
n
[x] многочленов степени, не превосходящей n.
§
§
§ 17. Характеристический многочлен
и характеристические корни
для линейного эндоморфизма
17.1. Характеристическая матрица и характеристический
многочлен. В предыдущем парагарафе линейное пространство V,
на котором был задан л.э. ϕ не предполагалось конечномерным. Те-
перь мы это предположение сделаем и зафиксируем базис
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (17.1)
в пространстве V. Пусть оператору ϕ в базисе B отвечает матрица A.
196    Спектральная теория линейных эндоморфизмов           Гл. 3

   Можно доказать, что множество всех решений дифференциально-
го уравнения (16.10) исчерпывается функциями aeλx (a ∈ R), про-
порциональными экспоненте (16.11). [В специальной математиче-
ской дисциплине "Дифференциальные уравнения", которую вы ско-
ро начнете изучать, устанавливаются общие теоремы о существова-
нии и единственности решений для таких уравнений.]
   В результате оказывается, что любое действительное число яв-
ляется собственным значением для оператора дифференцирования
(16.9), а соответствующие собственные подпространства являются
одномерными, с порождающими (16.11):
                                       ­ ®
                   σ(0 ) = R; Sλ (0 ) = eλx (λ ∈ R).     (16.12)

   Пример 16.7. Картина резко меняется, если оператор диффе-
ренцирования рассмотреть на (более узком, но тоже бесконечномер-
ном) пространстве многочленов W = R[x]. Поскольку при диффе-
ренцировании степень ненулевого многочлена уменьшается на еди-
ницу, то результат может оказаться пропорциональным исходному
многочлену лишь в случае многочленов нулевой степени (констант).
Коэффициентом пропорциональности в этом случае будет нуль. Та-
ким образом, нуль является единственным собственным значением,
а соответствующее собственное подпространство состоит из всех кон-
стант.
   Этот вывод сохраняется, если, вместо бесконечномерного прост-
ранства всех многочленов, рассматривать конечномерное простран-
ство Rn [x] многочленов степени, не превосходящей n.



        § 17. Характеристический многочлен
              и характеристические корни
             для линейного эндоморфизма
  17.1. Характеристическая матрица и характеристический
многочлен. В предыдущем парагарафе линейное пространство V,
на котором был задан л.э. ϕ не предполагалось конечномерным. Те-
перь мы это предположение сделаем и зафиксируем базис

                        B = [ b1 , b2 , ... , bn ]          (17.1)

в пространстве V. Пусть оператору ϕ в базисе B отвечает матрица A.

Страницы