Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

198 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
матриц с элементами из коммутативного кольца. (Несколько иначе
обстоит дело с вопросами обратимости матриц, но нас это пока не
коснется. Подробнее об этом см. ниже, в п. 30.1.)
Итак, можно обычным образом вычислить определитель полино-
миальной матрицы (17.5) и быть заранее уверенным, что результат
тоже будет полиномом (многочленом). Для этого многочлена также
вводится имя и обозначение.
Определение 17.2. Характеристическим многочленом для ква-
дратной матрицы A называется определитель ее характеристической
матрицы. Используется обозначение:
h
A
(λ) = det(C(λ)). (17.6)
Изучим влияние выбора базиса на характеристическую матрицу
и характеристический многочлен. Пусть
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
] (17.1
0
)
— еще один базис в пространстве V и T — матрица перехода от
старого базиса к новому. Тогда в новом базисе B
0
л.э. ϕ будет, в
соответствии с формулой (13.14), иметь матрицу
A
0
= T
−1
· A · T, (17.7)
подобную A.
Предложение 17.1. При замене матрицы на подобную ее ха-
рактеристическая матрица также заменится на подобную, а ха-
рактеристический многочлен не изменится.
Доказательство. Характеристическая матрица для матрицы A
0
может быть выражена следующим образом:
C
0
(λ) = λE − A
0
= λE −T
−1
AT =
= T
−1
(λE)T − T
−1
A · T = T
−1
(λE − A)T = T
−1
C(λ)T.
(Вставляя множители T
−1
и T слева и справа от матрицы λE,
мы использовали тот факт, что последняя матрица коммутирует
со всеми матрицами.)
Формула
C
0
(λ) = T
−1
C(λ)T (17.8)
198    Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

матриц с элементами из коммутативного кольца. (Несколько иначе
обстоит дело с вопросами обратимости матриц, но нас это пока не
коснется. Подробнее об этом см. ниже, в п. 30.1.)
  Итак, можно обычным образом вычислить определитель полино-
миальной матрицы (17.5) и быть заранее уверенным, что результат
тоже будет полиномом (многочленом). Для этого многочлена также
вводится имя и обозначение.
  Определение 17.2. Характеристическим многочленом для ква-
дратной матрицы A называется определитель ее характеристической
матрицы. Используется обозначение:

                        hA (λ) = det(C(λ)).                    (17.6)

   Изучим влияние выбора базиса на характеристическую матрицу
и характеристический многочлен. Пусть

                         B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ]       (17.10 )

— еще один базис в пространстве V и T — матрица перехода от
старого базиса к новому. Тогда в новом базисе B0 л.э. ϕ будет, в
соответствии с формулой (13.14), иметь матрицу

                          A0 = T −1 · A · T,                   (17.7)

подобную A.
  Предложение 17.1. При замене матрицы на подобную ее ха-
рактеристическая матрица также заменится на подобную, а ха-
рактеристический многочлен не изменится.
  Доказательство. Характеристическая матрица для матрицы A0
может быть выражена следующим образом:

  C 0 (λ) = λE − A0 = λE − T −1 AT =
           = T −1 (λE)T − T −1 A · T = T −1 (λE − A)T = T −1 C(λ)T.

   (Вставляя множители T −1 и T слева и справа от матрицы λE,
мы использовали тот факт, что последняя матрица коммутирует
со всеми матрицами.)
   Формула
                      C 0 (λ) = T −1 C(λ)T              (17.8)

Страницы