Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 200 стр.

200     Спектральная теория линейных эндоморфизмов               Гл. 3

  Пример 17.1. Рассмотрим скалярный л.э. ϕ = λ0 ε (λ0 ∈ P ).
В любом базисе ему будет отвечать скалярная матрица A = λ0 E.
Следовательно, характеристический многочлен будет выражаться
формулой
              hλ0 ε (λ) = det((λ − λ0 )E) = (λ − λ0 )n , (17.11)
где n = dim(V ).

   17.2. Коэффициенты характеристического многочлена.
Раскроем определитель (17.6) матрицы (17.5) по определению опре-
делителя (или, как еще говорят, по формуле полного разложения;
см. [A1 , § 23]).
   Разложение будет содержать n! членов, каждый из которых будет
определяться некоторой перестановкой σ степени n и будет пред-
ставлять из себя произведение знакового множителя sgn(σ) и n эле-
ментов матрицы (взятых по одному из каждой ее строки и каждого
столбца; перестановка σ указывает, какие по номеру элементы вы-
бираются в строках).
   Тождественной перестановке σ = ε соответствует произведение
диагональных элементов матрицы (17.5):

 (λ−a11 )(λ−a22 )...(λ−ann ) = λn −(a11 +a22 +...+ann )λn−1 +... (17.12)

   В правой части формулы (17.12) мы уже начали раскрывать это
произведение. Всего после перемножения n двучленов получится
(в неприведенном виде) 2n слагаемых. Одно из них является стар-
шим членом λn . Еще n слагаемых содержат множителем λn−1 ; они
образуются, если из всех скобок, кроме одной, выбрать член λ; из
оставшейся скобки будет выбран член −aii (i = 1, ..., n). Сгруппи-
ровав полученные члены степени n − 1, мы придем к выражению,
показанному в формуле. Все остальные слагаемые будут иметь сте-
пень не выше n − 2; в формуле их сумма заменена на многоточие.
   Любой нетождественной перестановке σ будет соответствовать
произведение n элементов матрицы C(λ), в котором как минимум
два множителя являются недиагональными. (В самом деле, диа-
гональные элементы, входящие в произведение, соответствуют но-
мерам, остающимся неподвижными при действии σ; если в пере-
становке имеется n − 1 таких номеров, то, очевидно, все n номеров
неподвижны и σ = ε.)
   Значит, при раскрытии скобок в этом произведении получится
многочлен степени не выше n − 2.