Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

202 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Замечание 17.3. В качестве информации приведем общие форму-
лы, выражающие коэффициенты характеристического многочлена
через некоторые скалярные характеристики матрицы:
c
k
= (−1)
k
g
k
(A); k = 1, ..., n, (17.16)
где g
k
(A) есть сумма всех главных миноров порядка k для матри-
цы A.
Главными называются миноры вида
k
M
i
1
,i
2
,...,i
k
i
1
,i
2
,...,i
k
; 1 6 i
1
< i
2
< ... < i
k
6 n,
т. е. такие, которые получаются, если строки и столбцы A, определя-
ющие минор, имеют одни и те же номера (определения и обозначения
см. в [A
1
, п. 30.1]).
Можно выписать явную формулу для характеристик g
k
(A):
g
k
(A) =
X
16i
1
<...<i
k
6n
k
M
i
1
,i
2
,...,i
k
i
1
,i
2
,...,i
k
. (17.17)
Доказательство формул (17.16) можно найти, например, в [16,
п. 2.1]. Отметим, что главные миноры первого порядка — это просто
диагональные элементы, а их сумма — это след матрицы:
g
1
(A) = tr(A). (17.18)
Существует только один минор порядка n, равный определителю
матрицы; он является главным, так что
g
n
(A) = det(A). (17.19)
Замечание 17.4. Согласно предложению 17.1, характеристичес-
кий многочлен является инвариантом подобия, т. е. не меняется
при замене данной матрицы на подобную. Напомним, что равен-
ство многочленов определяется покоэффициентно. В связи с этим,
все коэффициенты c
k
(k = 1, ..., n) оказываются инвариантами по-
добия. А поскольку эти коэффициенты не более чем знаком могут
отличаться от характеристик g
k
(A), мы приходим к выводу об инва-
риантности последних:
[ A
◦
∼
◦
A
0
] ⇒ [ (∀k = 1, ..., n) (g
k
(A) = g
k
(A
0
)) ]. (17.20)
202    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                        Гл. 3

  Замечание 17.3. В качестве информации приведем общие форму-
лы, выражающие коэффициенты характеристического многочлена
через некоторые скалярные характеристики матрицы:

                     ck = (−1)k gk (A); k = 1, ..., n,                  (17.16)

где gk (A) есть сумма всех главных миноров порядка k для матри-
цы A.
   Главными называются миноры вида
                k
                M ii11 ,i2 ,...,ik
                       ,i2 ,...,ik ; 1 6 i1 < i2 < ... < ik 6 n,

т. е. такие, которые получаются, если строки и столбцы A, определя-
ющие минор, имеют одни и те же номера (определения и обозначения
см. в [A1 , п. 30.1]).
    Можно выписать явную формулу для характеристик gk (A):
                                    X             k
                    gk (A) =                     M ii11 ,i
                                                        ,i2 ,...,ik
                                                          2 ,...,ik
                                                                    .   (17.17)
                               16i1 <...

Страницы