Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

204 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Согласно предложению 16.1, скаляр λ
0
∈ P является собственным
значением для л.э. ϕ тогда и только тогда, когда л.э.
ψ
0
= ϕ − λ
0
ε, (17.23)
необратим. Это, в свою очередь, равносильно (см. сводку в конце
п. 15.4) необратимости матрицы
B
0
= A − λ
0
E (17.24)
или, — необратимости противоположной матрицы
C
0
= −B
0
= λ
0
E − A. (17.25)
Последний же факт равносилен обращению в нуль определителя
матрицы C
0
, т. е. равенству
h
A
(λ
0
) = 0, (17.26)
свидетельствующему о том, что λ
0
является характеристическим
корнем для A. ¤
Замечание 17.5. Как мы убедились выше, спектр л.э., действую-
щего в конечномерном линейном пространстве V, является конечным
подмножеством в поле P, причем его мощность не может превышать
размерности n = dim(V ).
Спектр вполне может оказаться пустым (вспомните оператор по-
ворота из примера 16.3). Причиной этого является использование
"не достаточно хорошего" (с алгебраической точки зрения) поля.
Если основное поле P является алгебраически замкнутым (см.
[A
1
, п. 40.3]), то любой многочлен положительной степени над P
имеет в P хотя бы один корень. В такой ситуации спектр любого
л.э. (любой квадратной матрицы) непуст.
Добавим еще, что в бесконечномерных пространствах спектр мо-
жет оказаться бесконечным. (В примере 16.6 оператор дифферен-
цирования имел спектр, совпадающий со всем полем R.)
Замечание 17.6. В самом начале настоящей главы мы деклариро-
вали, что понятие спектра линейного оператора является одним из
центральных в "работающей математике". Скорее всего, читателям
пока не вполне ясна важность и глубина спектральной теории, но
204    Спектральная теория линейных эндоморфизмов         Гл. 3

  Согласно предложению 16.1, скаляр λ0 ∈ P является собственным
значением для л.э. ϕ тогда и только тогда, когда л.э.

                         ψ0 = ϕ − λ0 ε,                  (17.23)

необратим. Это, в свою очередь, равносильно (см. сводку в конце
п. 15.4) необратимости матрицы

                         B0 = A − λ0 E                   (17.24)

или, — необратимости противоположной матрицы

                     C0 = −B0 = λ0 E − A.                (17.25)

  Последний же факт равносилен обращению в нуль определителя
матрицы C0 , т. е. равенству

                          hA (λ0 ) = 0,                  (17.26)

свидетельствующему о том, что λ0 является характеристическим
корнем для A. ¤
   Замечание 17.5. Как мы убедились выше, спектр л.э., действую-
щего в конечномерном линейном пространстве V, является конечным
подмножеством в поле P, причем его мощность не может превышать
размерности n = dim(V ).
   Спектр вполне может оказаться пустым (вспомните оператор по-
ворота из примера 16.3). Причиной этого является использование
"не достаточно хорошего" (с алгебраической точки зрения) поля.
   Если основное поле P является алгебраически замкнутым (см.
[A1 , п. 40.3]), то любой многочлен положительной степени над P
имеет в P хотя бы один корень. В такой ситуации спектр любого
л.э. (любой квадратной матрицы) непуст.
   Добавим еще, что в бесконечномерных пространствах спектр мо-
жет оказаться бесконечным. (В примере 16.6 оператор дифферен-
цирования имел спектр, совпадающий со всем полем R.)
  Замечание 17.6. В самом начале настоящей главы мы деклариро-
вали, что понятие спектра линейного оператора является одним из
центральных в "работающей математике". Скорее всего, читателям
пока не вполне ясна важность и глубина спектральной теории, но

Страницы