Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 205 стр.

§ 17       Характеристический многочлен и его корни                205

автор надеется, что каждый последующий параграф будет прибли-
жать их к осознанию этого.
   Автору очень нравится следующий пассаж А. А. Кириллова (см.
его захватывающую книжку "Что такое число?" — М.: Наука, 1993.
С. 38):
   "...матричные элементы составляют лишь бренное тело преоб-
разования (... ), в то время как спектр выражает его бессмертную
душу".
   Развивая метафору А. А. Кириллова, мы можем напомнить (см.
замечание 12.3) другой образ, представляющий линейные операторы
в качестве "главных героев" линейной алгебры, а матрицы — как их
"портреты" (либо "оцифровки").
   Добавим, что матрица является "очень хорошим портретом": все
свойства оператора могут быть (в принципе) установлены и иссле-
дованы по его матрице. Хотя, как и полагается портрету, матрица
зависит не только от оператора, но и от "камеры", фиксирующей
оцифровку, т. е. от базиса (или базисов).
   Однако хочется, как всегда, большего. Было бы очень интересно
(и важно) получить такой "портрет", на котором можно было бы
видеть "душу" портретируемого.
  17.4. Алгебраические кратности собственных значений.
Пусть скаляр λ0 ∈ P является собственным значением для линей-
ного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном пространстве V.
Согласно предложению 17.3, этот факт равносилен тому, что λ0 яв-
ляется корнем характеристического многочлена hϕ (λ), явный вид ко-
торого может быть определен по матрице A, отвечающей ϕ в каком-
либо базисе B пространства V .
  Итак, λ0 является характеристическим корнем. Пусть m0 — его
кратность (как корня многочлена hA (λ); см. [A1 , п. 40.1]), т. е. такой
показатель степени, что имеет место разложение
                 hA (λ) = (λ − λ0 )m0 g(λ); g(λ0 ) 6= 0.        (17.27)
   Определение 17.4. Натуральное число m0 , для которого спра-
ведливо (17.27), называется алгебраической кратностью собственно-
го значения λ0 .
  Выражаясь проще, алгебраическая кратность собственного значе-
ния — это его кратность как характеристического корня. Рассмот-
рим теперь всю совокупность (попарно различных) собственных зна-
чений (= характеристических корней) для л.э. ϕ:
                    σ(ϕ) = σ(A) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.        (17.28)