Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 18 Алгоритм отыскания собственных подпространств 207
§
§
§ 18. Алгоритм отыскания спектра
и собственных подпространств
для линейного эндоморфизма
18.1. Арифметизация собственных подпространств. В пре-
дыдущем параграфе, используя матрицу A (или, что равносильно, —
арифметизацию Φ; см. п. 12.4) для л.э. ϕ ∈ L(V ), мы фактически
пришли к алгоритму вычисления спектра ϕ. Матрица A и оператор
Φ : P
n
−→ P
n
; Φ(x) = Ax; x ∈ P
n
(18.1)
зависят от выбора базиса B в пространстве V, а характеристический
многочлен h
A
(λ) и его корни λ
i
(вместе с их алгебраическими крат-
ностями m
i
; i = 1, ..., s) — не зависят.
Арифметизацией "оператора с параметром"
ψ(λ) = ϕ − λε : V −→ V (18.2)
будет служить оператор
Ψ(λ) = Φ − λε : P
n
−→ P
n
; x 7→ B(λ)x; x ∈ P
n
, (18.3)
заданный матрицей (17.3).
Арифметизациями операторов
ψ
i
= ϕ − λ
i
ε : V −→ V ; i = 1, ..., s (18.4)
будут являться операторы
Ψ
i
= Φ − λ
i
ε : P
n
−→ P
n
; x 7→ B
i
x; x ∈ P
n
, (18.5)
определяемые матрицами [вида (17.24)]:
B
i
= A − λ
i
E; i = 1, ..., s. (18.6)
Ядро оператора (18.5), т. е. собственное подпространство
W
0
i
= S
λ
i
(Φ) = Ker(Ψ
i
) = L
0
B
i
, (18.7)
представляет из себя арифметизацию (и служит описанием) для яд-
ра оператора (18.2), т. е. — собственного подпространства
W
i
= S
λ
i
(ϕ) = Ker(ψ
i
). (18.8)
§ 18   Алгоритм отыскания собственных подпространств             207

          § 18. Алгоритм отыскания спектра
             и собственных подпространств
             для линейного эндоморфизма
  18.1. Арифметизация собственных подпространств. В пре-
дыдущем параграфе, используя матрицу A (или, что равносильно, —
арифметизацию Φ; см. п. 12.4) для л.э. ϕ ∈ L(V ), мы фактически
пришли к алгоритму вычисления спектра ϕ. Матрица A и оператор

                 Φ : P n −→ P n ; Φ(x) = Ax; x ∈ P n            (18.1)

зависят от выбора базиса B в пространстве V, а характеристический
многочлен hA (λ) и его корни λi (вместе с их алгебраическими крат-
ностями mi ; i = 1, ..., s) — не зависят.
   Арифметизацией "оператора с параметром"

                       ψ(λ) = ϕ − λε : V −→ V                   (18.2)

будет служить оператор

       Ψ(λ) = Φ − λε : P n −→ P n ; x 7→ B(λ)x; x ∈ P n ,       (18.3)

заданный матрицей (17.3).
  Арифметизациями операторов

                  ψi = ϕ − λi ε : V −→ V ; i = 1, ..., s        (18.4)

будут являться операторы

            Ψi = Φ − λi ε : P n −→ P n ; x 7→ Bi x; x ∈ P n ,   (18.5)

определяемые матрицами [вида (17.24)]:

                      Bi = A − λi E; i = 1, ..., s.             (18.6)

   Ядро оператора (18.5), т. е. собственное подпространство

                   Wi0 = Sλi (Φ) = Ker(Ψi ) = L0Bi ,            (18.7)

представляет из себя арифметизацию (и служит описанием) для яд-
ра оператора (18.2), т. е. — собственного подпространства

                       Wi = Sλi (ϕ) = Ker(ψi ).                 (18.8)

Страницы