Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

208 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Напомним, что в практических примерах, как правило, уже не
делается различия между линейным оператором и его оцифровкой
(арифметизацией); отождествляются: V и P
n
, x и x, ϕ и Φ, W
i
и
W
0
i
, и т. д., и т. п.
После этого привлекается алгоритм построения базиса в ядре ли-
нейного оператора (см. п. 14.3), т. е. , фактически, — алгоритм
10.1, позволяющий собственное подпространство W
i
, заданное пер-
вым способом, как нуль-пространство матрицы B
i
, представить вто-
рым способом:
W
0
i
= R
F
i
, (18.9)
как линейную оболочку векторов-столбцов фундаментальной матри-
цы F
i
для однородной с.л.у.
B
i
· x = 0. (18.10)
18.2. Геометрические кратности собственных значений.
Введем в рассмотрение еще один вид "спектральных характеристик"
для л.э. — размерности собственных подпространств. Для этих
чисел будут использоваться два названия и два обозначения.
Определение 18.1. Геометрической кратностью собственного
значения λ
i
∈ σ(ϕ) называется размерность соответствующего соб-
ственного подпространства (18.8). Будем использовать обозначение:
n
i
= dim(S
λ
i
(ϕ)). (18.11)
Второе название мотивируется тем, что собственное подпростран-
ство (для ϕ, отвечающее λ
i
), является ядром (для ψ
i
), и поэтому его
размерность есть не что иное, как дефект оператора ψ
i
. В связи с
этим используется обозначение:
n
i
= d
i
= dfc(ψ
i
). (18.12)
Вспоминая тот факт, что собственные подпространства, по по-
строению, являются ненулевыми, мы приходим к заключению, что
геометрические кратности n
i
(i = 1, ..., s) являются натуральными
числами, не превышающими n = dim(V ).
Процесс арифметизации задачи о собственных значениях и соб-
ственных подпространствах, описанный в предыдущем пункте, свя-
зывает n
i
с числовыми характеристиками матриц B
i
. Точнее, спра-
ведливо следующее
208     Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

   Напомним, что в практических примерах, как правило, уже не
делается различия между линейным оператором и его оцифровкой
(арифметизацией); отождествляются: V и P n , x и x, ϕ и Φ, Wi и
Wi0 , и т. д., и т. п.
   После этого привлекается алгоритм построения базиса в ядре ли-
нейного оператора (см. п. 14.3), т. е. , фактически, — алгоритм
10.1, позволяющий собственное подпространство Wi , заданное пер-
вым способом, как нуль-пространство матрицы Bi , представить вто-
рым способом:
                            Wi0 = RFi ,                    (18.9)
как линейную оболочку векторов-столбцов фундаментальной матри-
цы Fi для однородной с.л.у.
                             Bi · x = 0.                      (18.10)

  18.2. Геометрические кратности собственных значений.
Введем в рассмотрение еще один вид "спектральных характеристик"
для л.э. — размерности собственных подпространств. Для этих
чисел будут использоваться два названия и два обозначения.
   Определение 18.1. Геометрической кратностью собственного
значения λi ∈ σ(ϕ) называется размерность соответствующего соб-
ственного подпространства (18.8). Будем использовать обозначение:
                         ni = dim(Sλi (ϕ)).                   (18.11)

   Второе название мотивируется тем, что собственное подпростран-
ство (для ϕ, отвечающее λi ), является ядром (для ψi ), и поэтому его
размерность есть не что иное, как дефект оператора ψi . В связи с
этим используется обозначение:
                         ni = di = dfc(ψi ).                  (18.12)
   Вспоминая тот факт, что собственные подпространства, по по-
строению, являются ненулевыми, мы приходим к заключению, что
геометрические кратности ni (i = 1, ..., s) являются натуральными
числами, не превышающими n = dim(V ).
   Процесс арифметизации задачи о собственных значениях и соб-
ственных подпространствах, описанный в предыдущем пункте, свя-
зывает ni с числовыми характеристиками матриц Bi . Точнее, спра-
ведливо следующее

Страницы