Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

210 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
2. Вычисляем характеритический многочлен для л.э. ϕ — как
определитель характеристической матрицы C(λ) [противоположной
матрице B(λ)]:
h
ϕ
(λ) = det(λE − A).
3. Находим все корни λ
i
∈ P (i = 1, ... , s) для многочлена h
ϕ
(λ)
(характеристические корни), вместе с их алгебраическими кратно-
стями m
i
. (При этом могут использоваться те или иные алгоритмы
теории многочленов; см. гл. 6 пособия [A
1
].)
Тем самым уже определен спектр
σ(ϕ) = {λ
1
, ... , λ
s
}.
4. Выписываем разложение характеристического многочлена на
множители:
h
ϕ
(λ) = (λ − λ
1
)
m
1
... (λ − λ
s
)
m
s
g(λ),
где многочлен g(λ) корней в поле P не имеет.
5
i
. Для каждого собственного значения λ
i
∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., s)
вычисляем матрицу
B
i
= A − λ
i
E
и составляем однородную с.л.у.
B
i
· x = 0.
6
i
. Для каждого i = 1, ..., s находим фундаментальную матри-
цу F
i
указанной с.л.у.; количество столбцов в этой матрице будет
равно геометрической кратности n
i
собственного значения λ
i
, т. е.
размерности соответствующего собственного подпространства.
7
i
. Представляем каждое собственное подпространство
W
i
= S
λ
i
(ϕ)
как линейную оболочку
W
i
= hf
1
, ... , f
n
i
i
системы из n
i
= n − rank(B
i
) векторов f
j
(j = 1, ... , n
i
), которые
изображаются (в базисе B) векторами-столбцами f
j
(j = 1, ... , n
i
)
матрицы F
i
.
210     Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

  2. Вычисляем характеритический многочлен для л.э. ϕ — как
определитель характеристической матрицы C(λ) [противоположной
матрице B(λ)]:
                     hϕ (λ) = det(λE − A).
   3. Находим все корни λi ∈ P (i = 1, ... , s) для многочлена hϕ (λ)
(характеристические корни), вместе с их алгебраическими кратно-
стями mi . (При этом могут использоваться те или иные алгоритмы
теории многочленов; см. гл. 6 пособия [A1 ].)
   Тем самым уже определен спектр

                          σ(ϕ) = {λ1 , ... , λs }.

  4. Выписываем разложение характеристического многочлена на
множители:

                hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 ... (λ − λs )ms g(λ),

где многочлен g(λ) корней в поле P не имеет.
   5i . Для каждого собственного значения λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., s)
вычисляем матрицу
                          B i = A − λi E
и составляем однородную с.л.у.

                               Bi · x = 0.

  6i . Для каждого i = 1, ..., s находим фундаментальную матри-
цу Fi указанной с.л.у.; количество столбцов в этой матрице будет
равно геометрической кратности ni собственного значения λi , т. е.
размерности соответствующего собственного подпространства.
  7i . Представляем каждое собственное подпространство

                              Wi = Sλi (ϕ)

как линейную оболочку

                           Wi = hf1 , ... , fni i

системы из ni = n − rank(Bi ) векторов fj (j = 1, ... , ni ), которые
изображаются (в базисе B) векторами-столбцами fj (j = 1, ... , ni )
матрицы Fi .

Страницы