Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 211 стр.

§ 18   Алгоритм отыскания собственных подпространств           211

   8. Формируем списки:
   — собственных значений
                             λ1 , ... , λs ;
   — их алгебраических кратностей
                            m1 , ..., ms ;
   — геометрических кратностей
                             n1 , ..., ns ;
   — матриц, содержащих базисы, в собственных подпространствах
                             F1 , ..., Fs .
   9. Вычисляем суммы алгебраических и геометрических кратно-
стей:
                             Xs
                          0
                        m =     mi ;                   (18.16)
                                   i=1
                                   s
                                   X
                             0
                            n =          ni .                (18.17)
                                   i=1
   Замечание 18.1. Некоторые этапы алгоритма 18.1 в определенной
степени "избыточны": получаемая в них информация найдет приме-
нение лишь в дальнейшем (при описании других алгоритмов, работа
которых будет начинаться там, где завершает работу данный).
   Замечание 18.2. В предложении 22.2 будет доказано, что (для лю-
бого собственного значения) геометрическая кратность не превыша-
ет алгебраическую:
                       ni 6 mi ; i = 1, ... , s.            (18.18)
   Пока же вы (при решении задач, с целью контроля правильности
вычислений) следите за выполнением неравенств (18.18).
   Особенно важными будут случаи выполнения условия m0 = n,
или же — более сильного — условия n0 = n. Если выполняется пер-
вое условие (а в случае алгебраически замкнутого поля P это всегда
так), то, как будет установлено ниже (см. § 27), для л.э. существует
так называемый жорданов базис. Второе условие выполняется не
всегда, даже над алгебраически замкнутыми полями. Оно обеспе-
чивает существование так называемого диагонализирующего базиса
для л.э. (Этим вопросом мы займемся совсем скоро, в § 21.)