Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 18 Алгоритм отыскания собственных подпространств 209
Предложение 18.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мер-
ном линейном пространстве V (над полем P ), и его спектр
σ(ϕ) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
}. (18.13)
Пусть в некотором базисе B пространства V эндоморфизму ϕ
отвечает матрица A. Тогда каждое собственное подпространство
W
i
= S
λ
i
(ϕ) 6 V изоморфно своей арифметизации W
0
i
= L
0
B
i
6 P
n
(где B
i
= A − λ
i
E) и имеет размерность, равную
n
i
= n − r
i
, (18.14)
где
r
i
= rank(B
i
). (18.15)
Подпространство W
0
i
может быть представлено как линейная обо-
лочка векторов столбцов (n × n
i
)-матицы F
i
— фундаментальной
матрицы для однородной с.л.у. (18.10).
Доказательство немедленно следует из общих фактов, касаю-
щихся (определяемого с помощью базиса B; см. п. 6.4) координат-
ного изоморфизма β : V → P
n
, с учетом соотношения d
i
+ r
i
= n
между рангом и дефектом линейного оператора ψ
i
[или матрицы B
i
;
см. формулу (14.21)]. ¤
18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и соб-
ственных подпространств для л.э. Резюмируем все изложенное
выше в виде схемы алгоритма, позволяющего вычислить спектр
л.э. и для каждого элемента спектра (т. е. собственного значения)
вычислить соответствующее собственное подпространство (под этим
понимается: найти базис собственного подпространства).
А л г о р и т м 18. 1.
Отыскание собственных значений (спектра) л.э. ϕ : V → V
и соответствующих собственных подпространств
В конечномерном (размерности n) линейном пространстве V (над
полем P ) должен быть выбран базис B, в котором линейному эндо-
морфизму ϕ будет соответствовать квадратная (n × n)-матрица A.
1. Составляем матрицу с параметром B(λ) = A − λE.
§ 18   Алгоритм отыскания собственных подпространств         209

  Предложение 18.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мер-
ном линейном пространстве V (над полем P ), и его спектр

                      σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.       (18.13)

   Пусть в некотором базисе B пространства V эндоморфизму ϕ
отвечает матрица A. Тогда каждое собственное подпространство
Wi = Sλi (ϕ) 6 V изоморфно своей арифметизации Wi0 = L0Bi 6 P n
(где Bi = A − λi E) и имеет размерность, равную

                             ni = n − ri ,                (18.14)

где
                           ri = rank(Bi ).                (18.15)
  Подпространство Wi0 может быть представлено как линейная обо-
лочка векторов столбцов (n × ni )-матицы Fi — фундаментальной
матрицы для однородной с.л.у. (18.10).
  Доказательство немедленно следует из общих фактов, касаю-
щихся (определяемого с помощью базиса B; см. п. 6.4) координат-
ного изоморфизма β : V → P n , с учетом соотношения di + ri = n
между рангом и дефектом линейного оператора ψi [или матрицы Bi ;
см. формулу (14.21)]. ¤

   18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и соб-
ственных подпространств для л.э. Резюмируем все изложенное
выше в виде схемы алгоритма, позволяющего вычислить спектр
л.э. и для каждого элемента спектра (т. е. собственного значения)
вычислить соответствующее собственное подпространство (под этим
понимается: найти базис собственного подпространства).

А л г о р и т м 18. 1.
Отыскание собственных значений (спектра) л.э. ϕ : V → V
и соответствующих собственных подпространств

  В конечномерном (размерности n) линейном пространстве V (над
полем P ) должен быть выбран базис B, в котором линейному эндо-
морфизму ϕ будет соответствовать квадратная (n × n)-матрица A.
   1. Составляем матрицу с параметром B(λ) = A − λE.

Страницы