Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 212 стр.

212    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

  18.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собствен-
ных подпространствах
   Пример 18.1. Выполним следующее типовое упражнение. (Об-
ратите внимание на то, что "оцифровка" уже считается произведен-
ной, т. е. линейный оператор предполагается действующим в ариф-
метическом линейном пространстве и рассматривается его матрица
в естественном базисе этого пространства.)
   З а д а ч а. Линейный оператор ϕ действует в арифметическом
линейном пространстве R6 и имеет (в естественном базисе этого про-
странства) матрицу
                                                   
                       −2   1     1 −1     0     0
                      0    −2    −1 0      0    0 
                                                   
                      2    −2    −4 4      1    −1 
                A :=                               .
                      2    −2    −3 2      1    −1 
                                                   
                        1   −2    −2 3     −1    0
                       −1   2     2 −2     0     −1

  Найти спектр и базисы в собственных подпространствах для этого
оператора.
  Р е ш е н и е. Следуем пунктам алгоритма 18.1.
  1. Составляем матрицу:
                                                                 
           −2 − λ   1              1     −1   0              0
          0      −2 − λ          −1     0    0              0 
                                                                 
          2       −2            −4 − λ   4   1             −1 
  B(λ) =                                                         .
          2       −2             −3    2−λ   1             −1 
                                                                 
             1     −2             −2     3  −1 − λ           0
            −1      2              2     −2   0            −1 − λ

  2. Вычисляем характеристический многочлен [как определитель
матрицы C(λ) = −B(λ)]:
               ¯                                        ¯
               ¯λ + 2  −1         −1    1         0  0 ¯
               ¯                                        ¯
               ¯ 0    λ+2         1     0        0   0 ¯
               ¯                                        ¯
               ¯ −2    2         λ+4    −4       −1  1 ¯
      hϕ (λ) = ¯                                        ¯=
               ¯ −2    2          3    λ−2       −1  1 ¯
               ¯                                        ¯
               ¯ −1    2          2     −3      λ+1  0 ¯
               ¯                                        ¯
                  1    −2         −2    2         0 λ+1

              = λ6 + 8λ5 + 26λ4 + 44λ3 + 41λ2 + 20λ + 4.