Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 18 Алгоритм отыскания собственных подпространств 213
(При "ручных" вычислениях этот этап часто оказывается доволь-
но трудоемким. Но в данном случае, с помощью умелого выбора
строк (столбцов), по которым раскрывается определитель, можно
получить результат даже "в лучшем виде" — разложенным на ли-
нейные множители.)
3. В общем случае отыскание корней многочлена — серьезная
задача. Чаще всего она разрешима лишь приближенно. Однако
учебные примеры (в нашем курсе) подбираются так, чтобы корни
находились точно, элементарными методами, изученными в гл. 6
пособия [A
1
].
Многочлен h
ϕ
(λ) имеет целые коэффициенты и является норма-
лизованным, поэтому все его рациональные корни (если они есть)
обязаны быть целыми и их следует искать среди делителей свобод-
ного члена.
"Подозрительными" оказываются значения ±1, ± 2, ±4. Алгоритм
§ 42 из [A
1
] (использующий схему Горнера) дает (с учетом кратно-
стей) шесть характеристических корней: λ
1
= −1 (кратности
m
1
= 4) и λ
2
= −2 (кратности m
2
= 2).
Спектр состоит из двух точек: σ(ϕ) = {−1, −2}.
4. Разложение на множители для характеристического многочле-
на имеет вид:
h
ϕ
(λ) = (λ + 1)
4
(λ + 2)
2
.
Многочлен g(λ), фигурирующий в общей формуле, в данном слу-
чае сводится к единице. Это произошло потому, что сумма алгебра-
ических кратностей (см. этап 9) m
0
= m
1
+ m
2
= 6 = n.
5.1. Составляем матрицу:
B
1
= A − λ
1
E = A + E =
−1 1 1 −1 0 0
0 −1 −1 0 0 0
2 −2 −3 4 1 −1
2 −2 −3 3 1 −1
1 −2 −2 3 0 0
−1 2 2 −2 0 0
.
6.1. Находим нуль-пространство (ядро) матрицы B
1
, т. е. (см.
алгоритм 10.1) решаем однородную с.л.у. с матрицей B
1
. Получаем
фундаментальную матрицу
§ 18     Алгоритм отыскания собственных подпространств              213

   (При "ручных" вычислениях этот этап часто оказывается доволь-
но трудоемким. Но в данном случае, с помощью умелого выбора
строк (столбцов), по которым раскрывается определитель, можно
получить результат даже "в лучшем виде" — разложенным на ли-
нейные множители.)
   3. В общем случае отыскание корней многочлена — серьезная
задача. Чаще всего она разрешима лишь приближенно. Однако
учебные примеры (в нашем курсе) подбираются так, чтобы корни
находились точно, элементарными методами, изученными в гл. 6
пособия [A1 ].
   Многочлен hϕ (λ) имеет целые коэффициенты и является норма-
лизованным, поэтому все его рациональные корни (если они есть)
обязаны быть целыми и их следует искать среди делителей свобод-
ного члена.
   "Подозрительными" оказываются значения ±1, ±2, ±4. Алгоритм
§ 42 из [A1 ] (использующий схему Горнера) дает (с учетом кратно-
стей) шесть характеристических корней: λ1 = −1 (кратности
m1 = 4) и λ2 = −2 (кратности m2 = 2).
   Спектр состоит из двух точек: σ(ϕ) = {−1, −2}.
   4. Разложение на множители для характеристического многочле-
на имеет вид:
                      hϕ (λ) = (λ + 1)4 (λ + 2)2 .

  Многочлен g(λ), фигурирующий в общей формуле, в данном слу-
чае сводится к единице. Это произошло потому, что сумма алгебра-
ических кратностей (см. этап 9) m0 = m1 + m2 = 6 = n.
  5.1. Составляем матрицу:

                                                              
                                  −1     1    1      −1   0 0
                                 0      −1   −1     0    0 0 
                                                              
                                 2      −2   −3     4    1 −1 
       B 1 = A − λ1 E = A + E =                               .
                                 2      −2   −3     3    1 −1 
                                                              
                                   1     −2   −2     3    0 0
                                  −1     2    2      −2   0 0


  6.1. Находим нуль-пространство (ядро) матрицы B1 , т. е. (см.
алгоритм 10.1) решаем однородную с.л.у. с матрицей B1 . Получаем
фундаментальную матрицу

Страницы