Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

206 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Определим также список соответствующих алгебраических крат-
ностей
m
1
, m
2
, ... , m
s
(17.29)
и вычислим их сумму:
m
0
=
s
X
i=1
m
i
. (17.30)
Непосредственным следствием общих фактов теории многочленов
(см. [A
1
, пп. 40.2, 40.3]) является следующее
Предложение 17.4. Сумма (17.30) алгебраических кратностей
всех собственных значений для линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V )
не превышает n = dim(V ) = deg(h
ϕ
(λ)).
Справедливо разложение на множители
h
ϕ
(λ) = (λ −λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
...(λ − λ
s
)
m
s
g(λ), (17.31)
в котором g(λ) является нормализованным многочленом степени
n − m
0
, не имеющим корней в поле P .
В случае алгебраически замкнутого поля P для любого эндомор-
физма имеет место равенство m
0
= n и разложение (17.31) приобре-
тает вид:
h
ϕ
(λ) = (λ −λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
...(λ − λ
s
)
m
s
. (17.32)
Доказательство. Достаточно обратиться к следующим форму-
лам из указанных выше пунктов первого пособия: (40.6), (40.7) и
(40.10). (Старший коэффициент в данном случае равняется едини-
це.) ¤
Замечание 17.7. Характеристическое уравнение для квадратной
матрицы A (т. е. уравнение вида h
A
(λ) = 0) стало использоваться в
математических работах довольно давно, еще в XVIII веке, и преж-
де всего — в механике, в том числе небесной. В старых трактатах
сохранился (со времен Лапласа и Лагранжа, применявших уравне-
ния такого типа в расчетах возмущений в движении планет) термин
вековое уравнение.
206    Спектральная теория линейных эндоморфизмов               Гл. 3

  Определим также список соответствующих алгебраических крат-
ностей
                        m1 , m2 , ... , ms            (17.29)
и вычислим их сумму:
                                    s
                                    X
                                0
                              m =         mi .                 (17.30)
                                    i=1

   Непосредственным следствием общих фактов теории многочленов
(см. [A1 , пп. 40.2, 40.3]) является следующее

   Предложение 17.4. Сумма (17.30) алгебраических кратностей
всех собственных значений для линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V )
не превышает n = dim(V ) = deg(hϕ (λ)).
   Справедливо разложение на множители

       hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms g(λ),   (17.31)

в котором g(λ) является нормализованным многочленом степени
n − m0 , не имеющим корней в поле P.
   В случае алгебраически замкнутого поля P для любого эндомор-
физма имеет место равенство m0 = n и разложение (17.31) приобре-
тает вид:

         hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms .     (17.32)



   Доказательство. Достаточно обратиться к следующим форму-
лам из указанных выше пунктов первого пособия: (40.6), (40.7) и
(40.10). (Старший коэффициент в данном случае равняется едини-
це.) ¤
   Замечание 17.7. Характеристическое уравнение для квадратной
матрицы A (т. е. уравнение вида hA (λ) = 0) стало использоваться в
математических работах довольно давно, еще в XVIII веке, и преж-
де всего — в механике, в том числе небесной. В старых трактатах
сохранился (со времен Лапласа и Лагранжа, применявших уравне-
ния такого типа в расчетах возмущений в движении планет) термин
вековое уравнение.

Страницы