Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 17 Характеристический многочлен и его корни 203
Для k = 1 и k = n этот результат нам уже известен из п. 13.9.
И так же, как функции tr и det, все характеристики g
k
могут
быть отнесены не только к конкретной квадратной матрице, но и —
к линейному эндоморфизму:
g
k
(ϕ) = g
k
(A); k = 1, ..., n, (17.21)
где A — матрица отвечающая л.э. ϕ в некотором базисе.
17.3. Корни характеристического многочлена. Снова рас-
смотрим характеристический многочлен (17.6) для (n × n)-матри-
цы A.
Определение 17.3. Корни (в поле P ) многочлена h
A
(λ) называ-
ются характеристическими корнями для A. Спектром матрицы A
называется множество σ(A) всех ее характеристических корней.
Количество (попарно различных) корней многочлена не может
превышать его степени (см. [A
1
, п. 39.3]). Следвательно, мощность
спектра σ(A) для (n × n)-матрицы A не превосходит n.
Поскольку характеристический многочлен для матрицы является
инвариантом подобия, то тем же свойством обладает и спектр. Сле-
довательно, как и в замечании 17.4, это понятие может быть отнесе-
но к линейному эндоморфизму. Но у нас уже есть понятие спектра
для л.э. (см. определение 16.1) — как множества всех собственных
значений для этого эндоморфизма.
"Круг замыкается" следующим предложением.
Предложение 17.3. Рассмотрим л.э. ϕ в конечномерном линей-
ном пространстве V. Пусть в некотором базисе этого пространства
оператору ϕ отвечает матрица A. Тогда скаляр λ
0
∈ P является
собственным значением для л.э. ϕ, если и только если он является
характеристическим корнем для A. Спектры л.э. и соответствующей
матрицы совпадают:
σ(ϕ) = σ(A). (17.22)
Доказательство является совершенно очевидным, но здесь необ-
ходимо пояснить, что в данном предложении и всюду далее (в от-
личие от § 16) собственные значения будут обозначаться буквой λ с
теми или иными индексами; "чистая", без индексов буква λ сохраня-
ется для обозначения переменной в характеристическом многочлене.
§ 17      Характеристический многочлен и его корни           203

   Для k = 1 и k = n этот результат нам уже известен из п. 13.9.
   И так же, как функции tr и det, все характеристики gk могут
быть отнесены не только к конкретной квадратной матрице, но и —
к линейному эндоморфизму:

                    gk (ϕ) = gk (A); k = 1, ..., n,        (17.21)

где A — матрица отвечающая л.э. ϕ в некотором базисе.
  17.3. Корни характеристического многочлена. Снова рас-
смотрим характеристический многочлен (17.6) для (n × n)-матри-
цы A.
  Определение 17.3. Корни (в поле P ) многочлена hA (λ) называ-
ются характеристическими корнями для A. Спектром матрицы A
называется множество σ(A) всех ее характеристических корней.
  Количество (попарно различных) корней многочлена не может
превышать его степени (см. [A1 , п. 39.3]). Следвательно, мощность
спектра σ(A) для (n × n)-матрицы A не превосходит n.
  Поскольку характеристический многочлен для матрицы является
инвариантом подобия, то тем же свойством обладает и спектр. Сле-
довательно, как и в замечании 17.4, это понятие может быть отнесе-
но к линейному эндоморфизму. Но у нас уже есть понятие спектра
для л.э. (см. определение 16.1) — как множества всех собственных
значений для этого эндоморфизма.
  "Круг замыкается" следующим предложением.

   Предложение 17.3. Рассмотрим л.э. ϕ в конечномерном линей-
ном пространстве V. Пусть в некотором базисе этого пространства
оператору ϕ отвечает матрица A. Тогда скаляр λ0 ∈ P является
собственным значением для л.э. ϕ, если и только если он является
характеристическим корнем для A. Спектры л.э. и соответствующей
матрицы совпадают:
                         σ(ϕ) = σ(A).                     (17.22)


   Доказательство является совершенно очевидным, но здесь необ-
ходимо пояснить, что в данном предложении и всюду далее (в от-
личие от § 16) собственные значения будут обозначаться буквой λ с
теми или иными индексами; "чистая", без индексов буква λ сохраня-
ется для обозначения переменной в характеристическом многочлене.

Страницы