Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 17 Характеристический многочлен и его корни 201
Приходим к выводу, что определитель (17.6), т. е. характеристи-
ческий многочлен для (n × n)-матрицы A, имеет степень, в точно-
сти равную n. Более того, этот многочлен является нормализован-
ным: его старший коэффициент равен единице, что непосредственно
усматривается из формулы (7.12).
Кстати, из этой же формулы усматривается и коэффициент, сле-
дующий за старшим: при λ
n−1
стоит взятый с противоположным
знаком след матрицы A (см. определение 13.3).
Запишем характеристический многочлен по убывающим степе-
ням λ, сначала — в общем виде (учтя нормализованность):
h
A
(λ) = λ
n
+ c
1
λ
n−1
+ c
2
λ
n−2
+ ... + c
n−2
λ
2
+ c
n−1
λ + c
n
. (17.13)
Затем отметим, что коэффициент c
1
уже определен:
c
1
= −tr(A). (17.14)
Не составляет труда определить также и свободный член, но при
этом применяется другой прием. Свободный член любого многочле-
на равен значению этого многочлена в нуле. Значит, c
n
= h
A
(0).
Подставляя λ = 0 в формулу (17.6), мы получаем, что c
n
= det(−A),
или окончательно:
c
n
= (−1)
n
det(A). (17.15)
Можно подвести первые итоги исследования вида характеристи-
ческого многочлена.
Предложение 17.2. Характеристический многочлен (n×n)-мат-
рицы A является нормализованным многочленом степени n. Его
коэффициенты c
1
и c
n
выражаются через скалярные характеристики
данной матрицы (след и определитель) формулами (17.14) и (17.15).
Доказательство см. выше, перед формулировкой. ¤
Замечание 17.2. Если характеристический многочлен определять
не по матрице C(λ), а по B(λ) [см. формулу (17.3)], то он получится
"не совсем нормализованным": старший коэффициент c
0
окажется
равным (−1)
n
, что гораздо менее удобно (хотя в некоторых учебни-
ках делается именно так).
Принятый нами вариант определения тоже имеет недостатки: нам
придется постоянно использовать в последующих вычислениях мат-
рицу (17.3), и одновременно будет фигурировать определитель, но
не этой матрицы, а — противоположной к ней.
§ 17       Характеристический многочлен и его корни                   201

  Приходим к выводу, что определитель (17.6), т. е. характеристи-
ческий многочлен для (n × n)-матрицы A, имеет степень, в точно-
сти равную n. Более того, этот многочлен является нормализован-
ным: его старший коэффициент равен единице, что непосредственно
усматривается из формулы (7.12).
  Кстати, из этой же формулы усматривается и коэффициент, сле-
дующий за старшим: при λn−1 стоит взятый с противоположным
знаком след матрицы A (см. определение 13.3).
  Запишем характеристический многочлен по убывающим степе-
ням λ, сначала — в общем виде (учтя нормализованность):

  hA (λ) = λn + c1 λn−1 + c2 λn−2 + ... + cn−2 λ2 + cn−1 λ + cn .   (17.13)

   Затем отметим, что коэффициент c1 уже определен:

                              c1 = −tr(A).                          (17.14)

   Не составляет труда определить также и свободный член, но при
этом применяется другой прием. Свободный член любого многочле-
на равен значению этого многочлена в нуле. Значит, cn = hA (0).
Подставляя λ = 0 в формулу (17.6), мы получаем, что cn = det(−A),
или окончательно:
                        cn = (−1)n det(A).                 (17.15)
  Можно подвести первые итоги исследования вида характеристи-
ческого многочлена.

  Предложение 17.2. Характеристический многочлен (n×n)-мат-
рицы A является нормализованным многочленом степени n. Его
коэффициенты c1 и cn выражаются через скалярные характеристики
данной матрицы (след и определитель) формулами (17.14) и (17.15).
   Доказательство см. выше, перед формулировкой. ¤
   Замечание 17.2. Если характеристический многочлен определять
не по матрице C(λ), а по B(λ) [см. формулу (17.3)], то он получится
"не совсем нормализованным": старший коэффициент c0 окажется
равным (−1)n , что гораздо менее удобно (хотя в некоторых учебни-
ках делается именно так).
   Принятый нами вариант определения тоже имеет недостатки: нам
придется постоянно использовать в последующих вычислениях мат-
рицу (17.3), и одновременно будет фигурировать определитель, но
не этой матрицы, а — противоположной к ней.

Страницы