Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 199 стр.

§ 17      Характеристический многочлен и его корни            199

может рассматриваться над полем P (при каждом фиксированном
значении переменной). При любом λ ∈ P матрицы C(λ) и C 0 (λ)
подобны и, следовательно, по предложению 13.3, имеют одинаковые
определители:
                     det(C 0 (λ)) = det(C(λ)).
   Значит, при любом λ равны значения многочленов:

                         hA0 (λ) = hA (λ),                   (17.9)

т. е. равны полиномиальные функции, соответствующие этим много-
членам.
   О тонком различии между многочленами и полиномиальными
функциями (которое проявляется лишь в случае, когда поле P ко-
нечно) говорилось в [A1 , п. 39.4]. Пока мы получили (17.9) как ра-
венство полиномиальных функций. В случае бесконечного P этого
достаточно. В общем же случае надо рассмотреть (17.8) над кольцом
многочленов P [λ] и воспользоваться (справедливой и над кольцами)
мультипликативностью определителя. [На первый взгляд, формула
(17.8) "содержит деление", поскольку в ней фигурирует обратная
матрица T −1 . Но T является (обратимой) матрицей с элементами
из P , она не содержит переменную λ. А деление на ненулевые кон-
станты в кольце многочленов, разумеется, допустимо.]
   При таком подходе становится ясным, что (17.9) является равен-
ством многочленов. ¤
  Предложение 17.1 позволяет дать иную версию определения 17.2,
которая относится уже не к матрицам, но к линейным эндоморфиз-
мам.
  Определение 17.20 . Характеристическим многочленом для ли-
нейного эндоморфизма ϕ называется характеристический многочлен
для матрицы A, соответствующей этому эндоморфизму (в произ-
вольном базисе):
                        hϕ (λ) = hA (λ).                (17.10)

   Замечание 17.1. При каждом фиксированном значении λ можно
рассматривать (17.2) как линейный эндоморфизм, для которого (см.
п. 13.9) имеет смысл понятие определителя, в связи с чем формулу
(17.10) можно переписать в инвариантном виде:

                       hϕ (λ) = det(λε − ϕ).               (17.100 )