Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 17 Характеристический многочлен и его корни 197
Рассмотрим л.э., который фигурировал (и играл самую сущест-
венную роль) в § 16:
ψ(λ) = ϕ − λε. (17.2)
Здесь мы будем считать λ ∈ P параметром. Таким образом, ψ(λ)
есть л.э. (оператор), зависящий от параметра. В базисе B ему соот-
ветствует (также зависящая от λ) матрица
B(λ) = A − λE. (17.3)
Как станет ясно ниже (см. замечание 17.2), в некоторых формулах
удобнее использовать противоположную матрицу:
C(λ) = −B(λ) = λE − A. (17.4)
Сразу дадим ей имя.
Определение 17.1. Матрица (17.4) называется характеристи-
ческой матрицей для квадратной матрицы A = (a
ij
)
n
i,j=1
.
Матрицы (17.3) и (17.4) могут рассматриваться над кольцом мно-
гочленов P [λ]. В самом деле, их элементами служат многочлены
(степени не выше первой) от переменной λ. Приведем развернутую
запись характеристической матрицы:
C(λ) =
λ − a
11
−a
12
... −a
1n
−a
21
λ − a
22
... −a
2n
... ... ... ...
−a
n1
−a
n2
... λ − a
nn
. (17.5)
Далее нам надо "освежить" (и, в некоторой степени, расширить)
представление читателей об определителях. В четвертой главе по-
собия [A
1
] определялись и изучались определители для квадратных
матриц с элементами из поля действительных чисел R, при этом объ-
яснялось, что все результаты остаются справедливыми над произ-
вольным полем. Между тем, большинство формул и теорем теории
определителей (все те, в которых не используется деление) сохра-
няют силу и над произвольным коммутативным кольцом.
Например, теорема Лапласа 25.1, обеспечивающая вычисление
определителя разложением по строке или столбцу, теорема 27.1
(определитель блочно-треугольной матрицы) и теорема 27.2 (муль-
типликативное свойство определителя) — переносятся на случай
§ 17      Характеристический многочлен и его корни           197

  Рассмотрим л.э., который фигурировал (и играл самую сущест-
венную роль) в § 16:
                         ψ(λ) = ϕ − λε.                 (17.2)
   Здесь мы будем считать λ ∈ P параметром. Таким образом, ψ(λ)
есть л.э. (оператор), зависящий от параметра. В базисе B ему соот-
ветствует (также зависящая от λ) матрица

                         B(λ) = A − λE.                     (17.3)

  Как станет ясно ниже (см. замечание 17.2), в некоторых формулах
удобнее использовать противоположную матрицу:

                    C(λ) = −B(λ) = λE − A.                  (17.4)

   Сразу дадим ей имя.
   Определение 17.1. Матрица (17.4) называется характеристи-
ческой матрицей для квадратной матрицы A = (aij )ni,j=1 .
   Матрицы (17.3) и (17.4) могут рассматриваться над кольцом мно-
гочленов P [λ]. В самом деле, их элементами служат многочлены
(степени не выше первой) от переменной λ. Приведем развернутую
запись характеристической матрицы:
                                                    
                     λ − a11    −a12     ...  −a1n
                    −a21      λ − a22   ...  −a2n 
            C(λ) =                                  .     (17.5)
                       ...       ...     ...    ...
                      −an1      −an2     ... λ − ann

   Далее нам надо "освежить" (и, в некоторой степени, расширить)
представление читателей об определителях. В четвертой главе по-
собия [A1 ] определялись и изучались определители для квадратных
матриц с элементами из поля действительных чисел R, при этом объ-
яснялось, что все результаты остаются справедливыми над произ-
вольным полем. Между тем, большинство формул и теорем теории
определителей (все те, в которых не используется деление) сохра-
няют силу и над произвольным коммутативным кольцом.
   Например, теорема Лапласа 25.1, обеспечивающая вычисление
определителя разложением по строке или столбцу, теорема 27.1
(определитель блочно-треугольной матрицы) и теорема 27.2 (муль-
типликативное свойство определителя) — переносятся на случай

Страницы