Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 194 стр.

194    Спектральная теория линейных эндоморфизмов            Гл. 3

   Предложение 16.1. Скаляр λ ∈ P является собственным значе-
нием для л.э. ϕ ∈ L(V ) тогда и только тогда, когда выполнено любое
из следующих утверждений:
   (1) Ker(ϕ − λε) 6= O;
   (2) л.э. ϕ − λε необратим. ¤

  16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпро-
странств
   Пример 16.1. Зафиксируем скаляр λ0 ∈ P и рассмотрим скаляр-
ный эндоморфизм ϕ = λ0 ε ∈ L(V ) [при λ0 = 0 получается нулевой
оператор, при λ0 = 1 — тождественный].
   Для любого x ∈ V будем иметь ϕ(x) = λ0 x, поэтому всякий вектор
x ∈ V \ {0} является собственным для ϕ, отвечающим собственному
значению λ0 . Спектр является одноточечным: σ(ϕ) = {λ0 }; един-
ственное собственное подпространство свопадает со всем простран-
ством: Sλ0 (ϕ) = V.
   Пример 16.2. В соответствии с предложением 16.1, нуль явля-
ется собственным значением для л.э. ϕ ∈ L(V ) тогда и только тогда,
когда оператор ϕ необратим; при этом его ядро является ненулевым
и служит собственным подпространством:

                         S0 (ϕ) = Ker(ϕ).                    (16.7)

  Выделим полученный результат (для дальнейшего использова-
ния):
                [ 0 ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ ϕ необратим ].      (16.8)

  Пример 16.3. Рассмотрим евклидову плоскость V = R2 . Мы
считаем ее состоящей из векторов, которые все приложены в начале
координат. (Это — алгебраический подход; в геометрии плоскость
считается состоящей из точек и векторы могут прикладываться в
любой точке.) Рассмотрим оператор ϕ = rα поворота плоскости
вокруг начала координат, против часовой стрелки, на угол α (см.
[A1 , пример 15.2]).
  Если угол α 6= πk (k ∈ Z), то при повороте ни один ненулевой век-
тор не перейдет в себе пропорциональный. Таким образом, собствен-
ных векторов не существует. Значит, не существует и собственных
значений: σ(ϕ) = ∅.
  Контрольный вопрос: а что будет, если α = πk?