Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 190 стр.

190   Линейные отображения конечномерных пространств        Гл. 2

   В частности, не существует эпиморфизма n-мерного пространства
на m-мерное, если n < m.
   В силу теоремы 15.1, необходимым и достаточным условием моно-
морфности ϕ является тривиальность его ядра, или, что равносиль-
но, равенство нулю его дефекта. В терминах матрицы A, дефект
которой выражается через ранг формулой d = n − r, получается сле-
дующий критерий мономорфности: r = n. (Матрица A здесь имеет
полный ранг по столбцам.)
   В частности, не существует мономорфизма из n-мерного простра-
нства в m-мерное, если n > m.
   Гомоморфизм ϕ является изоморфизмом тогда и только тогда,
когда m = n = r, т. е. матрица A должна быть квадратной и невы-
рожденной.
   Замечание 15.6. Все результаты данного пункта в частном слу-
чае арифметических линейных пространств уже фигурировали в
п. 15.6 пособия [A1 ]. Правда, при лекционной реализации курса ав-
тору очень редко удавалось изложить этот материал, и в книгу он
включен из логических соображений и из надежды на существова-
ние вдумчивых (и даже въедливых) читателей.
  15.4. Критерии обратимости (необратимости) линейных
эндоморфизмов. А этот пункт является "затравкой" для следую-
щей главы, самой объемной и сложной в курсе. Линейный эндомор-
физм (л.э.) является (см. п. 13.5) линейным гомоморфизмом

                           ϕ : V −→ V                       (15.6)

из линейного пространства V в само это пространство.
   Если dim(V ) = n и в пространстве V выбран некоторый базис B,
то оператору (15.6) сопоставляется квадратная (n × n)-матрица A,
ранг которой, мы, как и выше, обозначим r. Будет использоваться
также дефект d = n − r.
   При m = n условия эпиморфности и мономорфности, приведен-
ные в предыдущем пункте, оказываются равносильными друг другу,
а также — условию изоморфности. (Напомним, что изоморфизм ли-
нейного пространства на себя называется автоморфизмом.)
   В терминах матрицы л.э. можно утверждать, что
   — если r < n (или, что равносильно: d > 0; матрица A необрати-
ма), то эндоморфизм не является ни моно-, ни эпиморфизмом;
   — если r = n (или, что равносильно: d = 0; матрица A обратима),
то эндоморфизм является автоморфизмом.