Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 188 стр.

188   Линейные отображения конечномерных пространств              Гл. 2

  Замечание 15.2. Теорему 15.2 иллюстрирует рис. 15.2 в прил. 2
  Замечание 15.3. Если ввести обозначения для размерностей

      dim(V ) = n, dim(N ) = dfc(ϕ) = d, dim(M ) = rank(ϕ) = r,

то, в силу изоморфизма N 0 ∼
                           = M, мы получим, что

                      dim(N 0 ) = dim(M ) = r,                    (15.3)

и, в силу наличия прямой суммы V = N ⊕ N 0 , — что

                             n = d + r.                           (15.4)

  Последнее равенство выражает (выведенную ранее из других со-
ображений; см. предложение 14.2) связь ранга и дефекта для линей-
ного отображения.
   Замечание 15.4. Выполним обещание, данное в замечании 13.3, —
докажем существование таких базисов B и C в V и W соответствен-
но, в которых оператору ϕ отвечает матрица скелетного вида. Для
достижения этого достаточно:
   — взять любой базис B 0 в подпространстве N 0 ;
   — взять любой базис B 00 в ядре N ;
   — составить базис B = [ B0 , B 00 ] в пространстве V ;
   — взять образ C 0 = ϕ(B 0 ) выбранного базиса в N 0 при изоморфиз-
ме (15.3);
   — дополнить C 0 до базиса C в W.
   В базисах B 0 и C 0 изоморфизм ϕ 0 будет иметь единичную матрицу.
В базисах B и C гомоморфизм ϕ будет иметь матрицу скелетного
вида (с r единицами на диагонали).
   В качестве очевидного следствия из теоремы 15.2 получается про-
стое, но многократно используемое в следующей главе
  Предложение 15.1. Сужение линейного гомоморфизма

                            ϕ : V −→ W

на любое подпространство U 6 V, независимое с ядром N = Ker(ϕ)
(т. е. такое, что N ∩ U = O), является изоморфизмом:
                       ¯       ∼
                               =
                      ϕ¯U : U −→ ϕ(U ) 6 W.                       (15.5)