Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 282 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

282 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Для каждого собственного значения λ
i
∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , s) рас-
сматривается л.э.
ψ
i
= ϕ − λ
i
ε. (26.1)
В §§ 16 — 19 определялись и изучались собственные подпростран-
ства для л.э. ϕ, т. е. ядра операторов вида (26.1):
W
i
= S
λ
i
(ϕ) = Ker(ψ
i
); i = 1, ... , s. (26.2)
Их исследование давало ценную (но не исчерпывающую) инфор-
мацию о свойствах данного эндоморфизма. Благодаря §§ 23 — 25
мы готовы к использованию не толького первого, но и последующих
(вплоть до стабильного) итерированных ядер для эндоморфизмов ψ
i
,
рассчитанному на получение более глубокой и полной информации
об эндоморфизме ϕ.
Для каждого из эндоморфизмов ψ
i
(i = 1, ... , s) рассмотрим по-
следовательность итерированных ядер
N
(k )
i
= Ker(ψ
k
i
); k = 1, ... , l
i
, (26.3)
где l
i
— показатель стабилизации для ψ
i
.
Обратите внимание на принцип нумерации ядер: нижний номер
i — это номер собственного значения, а верхний номер k (в скоб-
ках) — это номер итерированного ядра (для оператора ψ
i
). В правой
части равенства (26.3) k фигурирует без скобок, поскольку здесь это
не номер, а степень оператора ψ
i
.
Определение 26.1. Корневым подпространством для л.э. ϕ, от-
вечающим собственному значению λ
i
∈ σ(ϕ), называется стабильное
ядро л.э. (26.1):
U
i
= Q
λ
i
(ϕ) = N
(l
i
)
i
= Ker(ψ
l
i
i
); i = 1, ... , s. (26.4)
Ненулевые элементы корневого подпространства (26.4) называют-
ся корневыми векторами для л.э. ϕ, отвечающими собственному зна-
чению λ
i
.
Замечание 26.1. Поясним различные стили и уровни обозначе-
ний, используемые как в уже знакомой формуле (26.2), так и в новой
формуле (26.4).
Самые лаконичные обозначения, W
i
(собственное подпростран-
ство) и U
i
(корневое подпространство), ничего не говорят об обозна-
чаемых объектах и используются исключительно из соображений
краткости.
282    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                       Гл. 3

  Для каждого собственного значения λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , s) рас-
сматривается л.э.
                        ψi = ϕ − λi ε.                       (26.1)
  В §§ 16 — 19 определялись и изучались собственные подпростран-
ства для л.э. ϕ, т. е. ядра операторов вида (26.1):
                Wi = Sλi (ϕ) = Ker(ψi ); i = 1, ... , s.                (26.2)
   Их исследование давало ценную (но не исчерпывающую) инфор-
мацию о свойствах данного эндоморфизма. Благодаря §§ 23 — 25
мы готовы к использованию не толького первого, но и последующих
(вплоть до стабильного) итерированных ядер для эндоморфизмов ψi ,
рассчитанному на получение более глубокой и полной информации
об эндоморфизме ϕ.
   Для каждого из эндоморфизмов ψi (i = 1, ... , s) рассмотрим по-
следовательность итерированных ядер
                     (k)
                   Ni      = Ker(ψik ); k = 1, ... , li ,               (26.3)
где li — показатель стабилизации для ψi .
   Обратите внимание на принцип нумерации ядер: нижний номер
i — это номер собственного значения, а верхний номер k (в скоб-
ках) — это номер итерированного ядра (для оператора ψi ). В правой
части равенства (26.3) k фигурирует без скобок, поскольку здесь это
не номер, а степень оператора ψi .
  Определение 26.1. Корневым подпространством для л.э. ϕ, от-
вечающим собственному значению λi ∈ σ(ϕ), называется стабильное
ядро л.э. (26.1):
                                (li )
            Ui = Qλi (ϕ) = Ni           = Ker(ψili ); i = 1, ... , s.   (26.4)
   Ненулевые элементы корневого подпространства (26.4) называют-
ся корневыми векторами для л.э. ϕ, отвечающими собственному зна-
чению λi .
   Замечание 26.1. Поясним различные стили и уровни обозначе-
ний, используемые как в уже знакомой формуле (26.2), так и в новой
формуле (26.4).
   Самые лаконичные обозначения, Wi (собственное подпростран-
ство) и Ui (корневое подпространство), ничего не говорят об обозна-
чаемых объектах и используются исключительно из соображений
краткости.

Страницы