Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 283 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Корневые подпространства 283
В более пространных обозначениях тех же объектов, S
λ
i
(ϕ) и
Q
λ
i
(ϕ), указывается, какому оператору и какому собственному зна-
чению эти подпространства отвечают.
Далее в формуле (26.4) раскрывается определение корневого под-
пространства как ядра N
(l
i
)
i
, номер которого равен показателю ста-
билизации l
i
, т. е. как стабильного ядра оператора ψ
i
.
Формулу (26.2) также можно дополнить в аналогичном стиле.
Собственное подпространство представляется как первое из итери-
рованных ядер: S
λ
i
(ϕ) = N
(1)
i
.
Разумеется, собственное подпространство содержится в корневом;
если l
i
= 1, то они совпадают. Собственные векторы являются част-
ным случаем корневых векторов.
26.2. Инвариантность корневых подпространств. В данном
пункте устанавливается инвариантность корневых подпространств
U
i
(i = 1, ... , s) как относительно исходного л.э. ϕ, так и относительно
всех л.э. ψ
j
(j = 1, ... , s), и, кроме того, характеризуются сужения
указанных эндоморфизмов на корневые подпространства.
Предложение 26.1. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном линей-
ном пространстве V и имеет непустой спектр σ(ϕ) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
}.
Рассмотрим корневые подпространства (26.4) для этого эндоморфиз-
ма. Тогда
1) каждое из U
i
является инвариантным относительно соответ-
ствующего эндоморфизма ψ
i
, причем сужение
ψ
0
i
= ψ
i
¯
¯
U
i
(26.5)
является нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, рав-
ным показателю стабилизации l
i
;
2) каждое из U
i
является ϕ-инвариантным, причем сужение
ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
U
i
(26.6)
представляется в виде суммы скалярного и нильпотентного эндомор-
физмов, а именно:
ϕ
0
i
= λ
i
ε
i
+ ψ
0
i
, (26.7)
где ε
i
= ε
U
i
;
3) каждое из U
i
является инвариантным относительно любого из
эндоморфзимов ψ
j
с номерами j 6= i, причем сужение ψ
j
¯
¯
U
i
является
обратимым л.э.
§ 26                 Корневые подпространства                       283

   В более пространных обозначениях тех же объектов, Sλi (ϕ) и
Qλi (ϕ), указывается, какому оператору и какому собственному зна-
чению эти подпространства отвечают.
   Далее в формуле (26.4) раскрывается определение корневого под-
                            (l )
пространства как ядра Ni i , номер которого равен показателю ста-
билизации li , т. е. как стабильного ядра оператора ψi .
   Формулу (26.2) также можно дополнить в аналогичном стиле.
Собственное подпространство представляется как первое из итери-
                               (1)
рованных ядер: Sλi (ϕ) = Ni .
   Разумеется, собственное подпространство содержится в корневом;
если li = 1, то они совпадают. Собственные векторы являются част-
ным случаем корневых векторов.
   26.2. Инвариантность корневых подпространств. В данном
пункте устанавливается инвариантность корневых подпространств
Ui (i = 1, ... , s) как относительно исходного л.э. ϕ, так и относительно
всех л.э. ψj (j = 1, ... , s), и, кроме того, характеризуются сужения
указанных эндоморфизмов на корневые подпространства.
   Предложение 26.1. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном линей-
ном пространстве V и имеет непустой спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.
Рассмотрим корневые подпространства (26.4) для этого эндоморфиз-
ма. Тогда
   1) каждое из Ui является инвариантным относительно соответ-
ствующего эндоморфизма ψi , причем сужение
                                    ¯
                           ψi0 = ψi ¯U                         (26.5)
                                        i


является нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, рав-
ным показателю стабилизации li ;
  2) каждое из Ui является ϕ-инвариантным, причем сужение
                                   ¯
                            ϕ0i = ϕ¯U                     (26.6)
                                        i


представляется в виде суммы скалярного и нильпотентного эндомор-
физмов, а именно:
                          ϕ0i = λi εi + ψi0 ,              (26.7)
где εi = εUi ;
   3) каждое из Ui является инвариантным относительно ¯ любого из
эндоморфзимов ψj с номерами j 6= i, причем сужение ψj ¯U является
                                                        i
обратимым л.э.

Страницы