Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 284 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

284 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Доказательство. 1. Согласно предложению 23.1, все итериро-
ванные ядра, включая стабильное, инвариантны относительно "сво-
его" оператора (по которому они строятся). Корневое подпростран-
ство U
i
является стабильным ядром для оператора ψ
i
, и поэтому
ψ
i
-инвариантно.
Далее, по предложению 23.3, сужение л.э. на свое стабильное ядро
является нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, рав-
ным показателю стабилизации. Значит, эндоморфизм (26.5) нильпо-
тентен с показателем l
i
.
2. Как известно, любое подпространство инвариантно относи-
тельно скалярного л.э. Эндоморфизмы ϕ и ψ
i
связаны соотноше-
нием (26.1), т. е. отличаются на скалярный эндоморфизм. Следо-
вательно, ψ
i
-инвариантность подпространства U
i
влечет его ϕ-инва-
риантность.
Если соотношение (26.1) сузить на U
i
, то получится соотношение
ψ
0
i
= ϕ
0
i
− λ
i
ε
i
, из которого вытекает формула (26.7), являющаяся
представлением оператора ϕ
i
в виде "скалярный плюс нильпотент-
ный".
3. То же рассуждение, что и в предыдущем пункте, приводит к
выводу о ψ
j
-инвариантности подпространства U
i
не только при j = i
(это уже установлено), но и при любом j 6= i.
Для доказательства обратимости сужения ψ
j
¯
¯
U
i
достаточно (в си-
лу предложения 15.2) убедиться в независимости подпространства U
i
и ядра Ker(ψ
j
), т. е. доказать тривиальность пересечения:
U
i
∩ Ker(ψ
j
) = O. (26.8)
Пусть x — ненулевой элемент подпространства Ker(ψ
j
), т. е. соб-
ственный вектор для л.э. ϕ, отвечающий собственному значению λ
j
.
Имеем равенство ϕ(x) = λ
j
x, из которого, очевидно, следует
ψ
i
(x) = (ϕ − λ
i
ε)(x) = ϕ(x) − λ
i
x = λ
j
x − λ
i
x = (λ
j
− λ
i
)x.
Результат этого вычисления можно итерировать. На втором шаге
получается:
ψ
2
i
(x) = ψ
i
((λ
j
− λ
i
)x) = (λ
j
− λ
i
)ψ
i
(x) = (λ
j
− λ
i
)
2
x.
С помощью очевидной индукции приходим к общей формуле:
ψ
k
i
(x) = (λ
j
− λ
i
)
k
x; k = 1, 2, ... (26.9)
284      Спектральная теория линейных эндоморфизмов                       Гл. 3

    Доказательство. 1. Согласно предложению 23.1, все итериро-
ванные ядра, включая стабильное, инвариантны относительно "сво-
его" оператора (по которому они строятся). Корневое подпростран-
ство Ui является стабильным ядром для оператора ψi , и поэтому
ψi -инвариантно.
    Далее, по предложению 23.3, сужение л.э. на свое стабильное ядро
является нильпотентным л.э., с показателем нильпотентности, рав-
ным показателю стабилизации. Значит, эндоморфизм (26.5) нильпо-
тентен с показателем li .
    2. Как известно, любое подпространство инвариантно относи-
тельно скалярного л.э. Эндоморфизмы ϕ и ψi связаны соотноше-
нием (26.1), т. е. отличаются на скалярный эндоморфизм. Следо-
вательно, ψi -инвариантность подпространства Ui влечет его ϕ-инва-
риантность.
    Если соотношение (26.1) сузить на Ui , то получится соотношение
ψi = ϕ0i − λi εi , из которого вытекает формула (26.7), являющаяся
  0

представлением оператора ϕi в виде "скалярный плюс нильпотент-
ный".
    3. То же рассуждение, что и в предыдущем пункте, приводит к
выводу о ψj -инвариантности подпространства Ui не только при j = i
(это уже установлено), но и при любом j 6= i. ¯
    Для доказательства обратимости сужения ψj ¯U достаточно (в си-
                                                  i
лу предложения 15.2) убедиться в независимости подпространства Ui
и ядра Ker(ψj ), т. е. доказать тривиальность пересечения:

                             Ui ∩ Ker(ψj ) = O.                           (26.8)

   Пусть x — ненулевой элемент подпространства Ker(ψj ), т. е. соб-
ственный вектор для л.э. ϕ, отвечающий собственному значению λj .
Имеем равенство ϕ(x) = λj x, из которого, очевидно, следует

      ψi (x) = (ϕ − λi ε)(x) = ϕ(x) − λi x = λj x − λi x = (λj − λi )x.

  Результат этого вычисления можно итерировать. На втором шаге
получается:

         ψi2 (x) = ψi ((λj − λi )x) = (λj − λi )ψi (x) = (λj − λi )2 x.

  С помощью очевидной индукции приходим к общей формуле:

                     ψik (x) = (λj − λi )k x; k = 1, 2, ...               (26.9)

Страницы