Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

286 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
— многочлен
g(λ) = g
0
+ g
1
λ + g
2
λ
2
+ ... + g
m
λ
m
; g
m
6= 0, (26.14)
— многочлен-произведение h = f · g:
h(λ) = h
0
+ h
1
λ + ... + h
n+m
λ
n+m
; h
s
=
X
i,j>0
i+j=s
f
i
g
j
, (26.15)
— многочлены-композиции G = g ◦ p и H = h ◦ p, определяемые
формулами, аналогичными (26.12).
В указанных выше обозначениях закон (26.13) принимает вид:
H = F · G. (26.13
0
)
Его справедливость практически очевидна "на уровне функций"
(даже не обязательно полиномиальных):
H(λ) = (h ◦ p)(λ) = h(p(λ)) = (f · g)(p(λ)) =
= f(p(λ)) · g(p(λ)) = (f ◦ p)(λ) · (g ◦ p)(λ) =
= F (λ) · G(λ) = (F · G)(λ). (26.16)
Однако многочлены — это "больше, чем функции". Функцио-
нальная точка зрения на многочлены адекватна лишь над бесконе-
ными полями. (Еще раз приходится отсылать читателей к § 39 посо-
бия [A
1
]. Для алгебраистов случай конечного поля коэффициентов
является не менее существенным и интересным, нежели случай бес-
конечного поля.)
Чтобы доказать закон (26.13) "на уровне многочленов" надо реа-
лизовать следующий план:
1) проверить равенство (26.13
0
) для одночленов f(λ) = f
i
λ
i
,
g(λ) = g
j
λ
j
и p(λ) = p
k
λ
k
;
2) убедиться в том, что если равенство (26.13) справедливо для
одночленов f(λ) и g(λ) (таких, как выше) и для каждого из двух
многочленов, p
1
(λ) и p
2
(λ), то оно останется справедливым для f(λ),
g(λ) и p(λ) = p
1
(λ) + p
2
(λ); после этого можно будет сделать вывод
о справедливости (26.13) для произвольных одночленов f и g и про-
извольного многочлена p;
3) провести аналогичное рассуждение применительно к g: если
закон справедлив для одночлена f, двух многочленов, g
1
и g
2
, и
286     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                    Гл. 3

  — многочлен

         g(λ) = g0 + g1 λ + g2 λ2 + ... + gm λm ; gm 6= 0,           (26.14)

  — многочлен-произведение h = f · g:
                                                   X
      h(λ) = h0 + h1 λ + ... + hn+m λn+m ; hs =            fi gj ,   (26.15)
                                                   i,j>0
                                                  i+j=s


  — многочлены-композиции G = g ◦ p и H = h ◦ p, определяемые
формулами, аналогичными (26.12).
  В указанных выше обозначениях закон (26.13) принимает вид:

                               H = F · G.                            (26.130 )

   Его справедливость практически очевидна "на уровне функций"
(даже не обязательно полиномиальных):

  H(λ) = (h ◦ p)(λ) = h(p(λ)) = (f · g)(p(λ)) =
             = f (p(λ)) · g(p(λ)) = (f ◦ p)(λ) · (g ◦ p)(λ) =
                                   = F (λ) · G(λ) = (F · G)(λ).      (26.16)

   Однако многочлены — это "больше, чем функции". Функцио-
нальная точка зрения на многочлены адекватна лишь над бесконе-
ными полями. (Еще раз приходится отсылать читателей к § 39 посо-
бия [A1 ]. Для алгебраистов случай конечного поля коэффициентов
является не менее существенным и интересным, нежели случай бес-
конечного поля.)
   Чтобы доказать закон (26.13) "на уровне многочленов" надо реа-
лизовать следующий план:
   1) проверить равенство (26.130 ) для одночленов f (λ) = fi λi ,
g(λ) = gj λj и p(λ) = pk λk ;
   2) убедиться в том, что если равенство (26.13) справедливо для
одночленов f (λ) и g(λ) (таких, как выше) и для каждого из двух
многочленов, p1 (λ) и p2 (λ), то оно останется справедливым для f (λ),
g(λ) и p(λ) = p1 (λ) + p2 (λ); после этого можно будет сделать вывод
о справедливости (26.13) для произвольных одночленов f и g и про-
извольного многочлена p;
   3) провести аналогичное рассуждение применительно к g: если
закон справедлив для одночлена f , двух многочленов, g1 и g2 , и

Страницы