Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 288 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

288 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Рассмотрим характеристический многочлен для л.э. ϕ ∈ L(V ):
h
ϕ
(λ) = h
A
(λ) = det(λE − A), (26.18)
где A — матрица, отвечающая ϕ в каком-либо базисе B простран-
ства V. Разложим многочлен (26.18) на множители, по типу (17.31):
h
ϕ
(λ) = (λ − λ
1
)
m
1
(λ − λ
2
)
m
2
...(λ − λ
s
)
m
s
g(λ), (26.19)
где λ
i
, m
i
— собственные значения и соответствующие алгебраиче-
ские кратности (i = 1, ... , s), а многочлен g(λ) не имеет корней в
поле P.
Выберем одно из собственных значений (скажем, λ
1
) и рассмот-
рим соответствующий л.э. [вида (26.1)]: ψ
1
= ϕ − λ
1
ε. В том же ба-
зисе B этому эндоморфизму будет отвечать матрица B
1
= A − λ
1
E.
Вычислим характеристический многочлен для оператора ψ
1
:
h
ψ
1
(λ) = h
B
1
(λ) = det(λE − B
1
) =
= det(λE − (A − λ
1
E)) = det((λ + λ
1
)E − A) = h
ϕ
(λ + λ
1
),
или, окончательно:
h
ψ
1
(λ) = h
ϕ
(λ + λ
1
). (26.20)
Замечаем, что характеристический многочлен для ψ
1
получает-
ся из характеристического многочлена для ϕ сдвигом по аргументу
(на λ
1
).
В силу свойств, установленных в конце п. 26.3, операция сдвига
многочленов согласована с их умножением. Стало быть, разложение
на множители (26.19) для h
ϕ
(λ) приводит к аналогичному разложе-
нию
h
ψ
1
(λ) = λ
m
1
(λ − (λ
2
− λ
1
))
m
2
... (λ − (λ
s
− λ
1
))
m
s
g(λ + λ
1
), (26.21)
причем сдвинутый многочлен g(λ+λ
1
), как и исходный g(λ), не имеет
корней в P.
Выходит, что сдвиг оператора ϕ (т. е. добавка скалярного опера-
тора −λ
1
ε) привел к сдвигу по аргументу (на λ
1
) для характеристи-
ческого многочлена и, затем, — к сдвигу спектра (на −λ
1
):
σ(ψ
1
) = {0, λ
2
− λ
1
, ... , λ
s
− λ
1
}, (26.22)
288     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

  Рассмотрим характеристический многочлен для л.э. ϕ ∈ L(V ):

                     hϕ (λ) = hA (λ) = det(λE − A),                 (26.18)

где A — матрица, отвечающая ϕ в каком-либо базисе B простран-
ства V. Разложим многочлен (26.18) на множители, по типу (17.31):

        hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms g(λ),       (26.19)

где λi , mi — собственные значения и соответствующие алгебраиче-
ские кратности (i = 1, ... , s), а многочлен g(λ) не имеет корней в
поле P.
   Выберем одно из собственных значений (скажем, λ1 ) и рассмот-
рим соответствующий л.э. [вида (26.1)]: ψ1 = ϕ − λ1 ε. В том же ба-
зисе B этому эндоморфизму будет отвечать матрица B1 = A − λ1 E.
   Вычислим характеристический многочлен для оператора ψ1 :

  hψ1 (λ) = hB1 (λ) = det(λE − B1 ) =
        = det(λE − (A − λ1 E)) = det((λ + λ1 )E − A) = hϕ (λ + λ1 ),

или, окончательно:
                          hψ1 (λ) = hϕ (λ + λ1 ).                   (26.20)
   Замечаем, что характеристический многочлен для ψ1 получает-
ся из характеристического многочлена для ϕ сдвигом по аргументу
(на λ1 ).
   В силу свойств, установленных в конце п. 26.3, операция сдвига
многочленов согласована с их умножением. Стало быть, разложение
на множители (26.19) для hϕ (λ) приводит к аналогичному разложе-
нию

 hψ1 (λ) = λm1 (λ − (λ2 − λ1 ))m2 ... (λ − (λs − λ1 ))ms g(λ + λ1 ), (26.21)

причем сдвинутый многочлен g(λ+λ1 ), как и исходный g(λ), не имеет
корней в P.
  Выходит, что сдвиг оператора ϕ (т. е. добавка скалярного опера-
тора −λ1 ε) привел к сдвигу по аргументу (на λ1 ) для характеристи-
ческого многочлена и, затем, — к сдвигу спектра (на −λ1 ):

                  σ(ψ1 ) = { 0, λ2 − λ1 , ... , λs − λ1 },          (26.22)

Страницы