Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 289 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Корневые подпространства 289
с сохранением алгебраических кратностей (m
1
, m
2
, ... , m
s
соответ-
ственно).
В частности, первое собственное значение для ψ
1
оказывается рав-
ным нулю, и его алгебраическая кратность равна алгебраической
кратности собственного значения λ
1
для ϕ.
Разумеется, нумерация собственных значений не играет принци-
пиальной роли и утверждения, аналогичные установленным выше,
справедливы для всех эндоморфизмов ψ
i
(i = 1, ... , s).
Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать основной ре-
зультат пункта.
Предложение 26.2. Размерность корневого подпространства
U
i
= Q
λ
i
(ϕ), отвечающего собственному значению λ
i
∈ σ(ϕ), рав-
на алгебраической кратности этого собственного значения:
dim(Q
λ
i
(ϕ)) = m
i
; i = 1, ... , s. (26.23)
Доказательство. Корневое подпространство U
i
определялось (в
п. 26.1) как стабильное ядро для л.э. ψ
i
. Согласно предложению 25.1,
размерность стабильного ядра равна алгебраической кратности ну-
левого собственного значения. Но проведенный перед формулиров-
кой предложения анализ показал, что алгебраическая кратность для
элемента 0 ∈ σ(ψ
i
) совпадает с алгебраической кратностью m
i
для
элемента λ
i
∈ σ(ϕ). ¤
Зная размерность корневого пространства, мы можем теперь вы-
числить характеристический многочлен для сужения ϕ
0
i
[см. (26.6)]
данного л.э. ϕ на подпространство U
i
.
Предложение 26.3. Характеристический многочлен для суже-
ния ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
U
i
определяется формулой
h
ϕ
0
i
(λ) = (λ −λ
i
)
m
i
, (26.24)
где m
i
— алгебраическая кратность собственного значения λ
i
.
Доказательство. По предложению 26.1, л.э. (26.6) представля-
ется в виде [см. (26.7)]: ϕ
0
i
= λ
i
ε
i
+ ψ
0
i
, с нильпотентным слагае-
мым ψ
0
i
, для которого вид характеристического многочлена опре-
деляется предложением 25.2 (в показателе фигурирует размерность
того пространства, на котором рассматривается нильпотентный эн-
доморфизм; в данном случае — размерность U
i
):
h
ψ
0
i
(λ) = λ
m
i
. (26.25)
§ 26               Корневые подпространства                     289

с сохранением алгебраических кратностей (m1 , m2 , ... , ms соответ-
ственно).
   В частности, первое собственное значение для ψ1 оказывается рав-
ным нулю, и его алгебраическая кратность равна алгебраической
кратности собственного значения λ1 для ϕ.
   Разумеется, нумерация собственных значений не играет принци-
пиальной роли и утверждения, аналогичные установленным выше,
справедливы для всех эндоморфизмов ψi (i = 1, ... , s).
   Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать основной ре-
зультат пункта.
  Предложение 26.2. Размерность корневого подпространства
Ui = Qλi (ϕ), отвечающего собственному значению λi ∈ σ(ϕ), рав-
на алгебраической кратности этого собственного значения:
                   dim(Qλi (ϕ)) = mi ; i = 1, ... , s.        (26.23)

   Доказательство. Корневое подпространство Ui определялось (в
п. 26.1) как стабильное ядро для л.э. ψi . Согласно предложению 25.1,
размерность стабильного ядра равна алгебраической кратности ну-
левого собственного значения. Но проведенный перед формулиров-
кой предложения анализ показал, что алгебраическая кратность для
элемента 0 ∈ σ(ψi ) совпадает с алгебраической кратностью mi для
элемента λi ∈ σ(ϕ). ¤
  Зная размерность корневого пространства, мы можем теперь вы-
числить характеристический многочлен для сужения ϕ0i [см. (26.6)]
данного л.э. ϕ на подпространство Ui .
  Предложение
          ¯      26.3. Характеристический многочлен для суже-
     0    ¯
ния ϕi = ϕ U определяется формулой
            i


                        hϕ0i (λ) = (λ − λi )mi ,              (26.24)
где mi — алгебраическая кратность собственного значения λi .
   Доказательство. По предложению 26.1, л.э. (26.6) представля-
ется в виде [см. (26.7)]: ϕ0i = λi εi + ψi0 , с нильпотентным слагае-
мым ψi0 , для которого вид характеристического многочлена опре-
деляется предложением 25.2 (в показателе фигурирует размерность
того пространства, на котором рассматривается нильпотентный эн-
доморфизм; в данном случае — размерность Ui ):
                            hψi0 (λ) = λmi .                  (26.25)

Страницы