Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 291 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 26 Корневые подпространства 291
2) этот базис является жордановым для л.э. ϕ;
3) эндоморфизму ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
U
i
отвечает в нем блочно-диагональная
(m
i
×m
i
)-матрица J
i
с жордановыми ящиками вида J
k
(λ
i
) на диа-
гонали (см. диагр. 26.2 в прил. 3);
4) общее количество ж.я. в матрице J
i
равняется первому дефекту
d
(1)
i
= dfc(ψ
i
) (или, что то же, геометрической кратности n
i
собствен-
ного значения λ
i
); размеры ящиков заключены в пределах от 1 до l
i
,
причем имеется q
(k)
i
ящиков размера k × k.
Доказательство. Согласно МТЖ, в подпространстве U
i
суще-
ствует жорданов базис для л.э. ψ
i
. Этот базис будет организован
в столбчатую диаграмму вида 25.1 (см. прил. 3).
На диаграмме 26.1 (в том же приложении) произведены необходи-
мые переобозначения, соответствующие рассматриваемому случаю;
в частности стрелки в D
i
соответствуют не ϕ, но ψ
i
. Общее коли-
чество ячеек в диаграмме равно размерности подпространства U
i
,
т. е. алгебраической кратности m
i
собственного значения λ
i
. Общее
количество столбцов равно первому итерированному дефекту d
(1)
i
для л.э. ψ
i
, т. е. размерности ядра Ker(ψ
i
). Для этой характеристи-
ки имеются другой термин и другое обозначение — геометрическая
кратность n
i
собственного значения λ
i
.
В жордановом базисе суженному эндоморфизму ψ
0
i
будет соот-
ветствовать блочно-диагональная матрица B
0
i
, типа представленной
на диагр. 25.2. Размеры ящиков описываются тем же правилом, но
теперь все характеристики (дефекты, их первые и вторые прира-
щения) имееют двойную индексацию: снизу — номер собственного
значения, сверху (в скобках) — номер итерации.
В силу соотношения (26.7) между сужениями ψ
0
i
и ϕ
0
i
, имеется
аналогичное соотношение между их матрицами:
A
0
i
= λ
i
E
i
+ B
0
i
, (26.30)
где все участвующие матрицы (в том числе и единичная E
i
) имеют
размеры m
i
× m
i
.
Таким образом, для получения матрицы A
0
i
надо к матрице B
0
i
,
представленной на диагр. 25.2, добавить скалярную матрицу с эле-
ментами λ
i
на диагонали. Все жордановы ящики, которые были в
матрице B
0
i
нильпотентными, превратятся в матрице A
0
i
в ящики ви-
да J
k
(λ
i
) . В связи с этим мы произведем переобозначение: A
0
i
= J
i
.
Соответствующие изменения отражены на диагр. 26.2 (в прил. 3).
§ 26                Корневые подпространства                     291

   2) этот базис является жордановым
                           ¯         для л.э. ϕ;
                      0    ¯
   3) эндоморфизму ϕi = ϕ U отвечает в нем блочно-диагональная
                              i

(mi × mi )-матрица Ji с жордановыми ящиками вида Jk (λi ) на диа-
гонали (см. диагр. 26.2 в прил. 3);
   4) общее количество ж.я. в матрице Ji равняется первому дефекту
 (1)
di = dfc(ψi ) (или, что то же, геометрической кратности ni собствен-
ного значения λi ); размеры ящиков заключены в пределах от 1 до li ,
                  (k)
причем имеется qi ящиков размера k × k.
   Доказательство. Согласно МТЖ, в подпространстве Ui суще-
ствует жорданов базис для л.э. ψi . Этот базис будет организован
в столбчатую диаграмму вида 25.1 (см. прил. 3).
   На диаграмме 26.1 (в том же приложении) произведены необходи-
мые переобозначения, соответствующие рассматриваемому случаю;
в частности стрелки в Di соответствуют не ϕ, но ψi . Общее коли-
чество ячеек в диаграмме равно размерности подпространства Ui ,
т. е. алгебраической кратности mi собственного значения λi . Общее
                                                                   (1)
количество столбцов равно первому итерированному дефекту di
для л.э. ψi , т. е. размерности ядра Ker(ψi ). Для этой характеристи-
ки имеются другой термин и другое обозначение — геометрическая
кратность ni собственного значения λi .
   В жордановом базисе суженному эндоморфизму ψi0 будет соот-
ветствовать блочно-диагональная матрица Bi0 , типа представленной
на диагр. 25.2. Размеры ящиков описываются тем же правилом, но
теперь все характеристики (дефекты, их первые и вторые прира-
щения) имееют двойную индексацию: снизу — номер собственного
значения, сверху (в скобках) — номер итерации.
   В силу соотношения (26.7) между сужениями ψi0 и ϕ0i , имеется
аналогичное соотношение между их матрицами:

                           A0i = λi Ei + Bi0 ,                 (26.30)

где все участвующие матрицы (в том числе и единичная Ei ) имеют
размеры mi × mi .
   Таким образом, для получения матрицы A0i надо к матрице Bi0 ,
представленной на диагр. 25.2, добавить скалярную матрицу с эле-
ментами λi на диагонали. Все жордановы ящики, которые были в
матрице Bi0 нильпотентными, превратятся в матрице A0i в ящики ви-
да Jk (λi ) . В связи с этим мы произведем переобозначение: A0i = Ji .
Соответствующие изменения отражены на диагр. 26.2 (в прил. 3).

Страницы