Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 292 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

292 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Приходим к выводу, что представленный столбчатой диаграм-
мой D
i
базис в корневом подпространстве U
i
является жордановым
базисом для л.э. ϕ и что сужению ϕ на U
i
отвечает матрица J
i
, вид
которой определяется сформулированными в теореме правилами. ¤
26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корне-
вом подпространстве. Кратко описываемый ниже алгоритм не
является новым. Предыдущий алгоритм 25.1 реализуется примени-
тельно к вспомогательному эндоморфизму ψ
i
= ϕ − λ
i
ε, где λ
i
—
одно из собственных значений для л.э. ϕ, имеющее алгебраическую
кратность m
i
. Стабильным ядром эндоморфизма ψ
i
является кор-
невое подпространство U
i
= Q
λ
i
(ϕ). В подпространстве U
i
строится
жорданов базис для ψ
i
; он же будет жордановым для ϕ. На заверша-
ющем этапе формируется блочно-диагональная (m
i
× m
i
)-матрица,
отвечающая в найденном базисе сужению ϕ на U
i
.
А л г о р и т м 26. 1.
Построение жорданова базиса G
i
для л.э. ϕ ∈ L(V )
в корневом подпространстве U
i
= Q
λ
i
(ϕ) и вычисление
матрицы, отвечающей в этом базисе сужению ϕ
¯
¯
U
i
1. В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) фиксиру-
ется базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A.
Считается уже известным некоторое собственное значение λ
i
∈ σ(ϕ).
Рассматривается л.э. ψ
i
= ϕ − λ
i
ε, заданный в базисе B матрицей
B
i
= A − λ
i
E.
2. Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.
Решая однородные с.л.у. B
k
i
x = 0, находим базисы и размерности
для итерированных ядер
N
(k)
i
= Ker(ψ
k
i
) = L
0
B
k
i
. (26.31)
Размерности (итерированные дефекты) обозначаются d
(k )
i
; пер-
вый из них совпадает с геометрической кратностью собственного
значения λ
i
: d
(1)
i
= n
i
.
Базисы накапливаются в (n ×d
(k)
i
)-матрицах F
(k)
i
. Так продолжа-
ется до достижения стабилизации, сигналом о чем служит равенство
292    Спектральная теория линейных эндоморфизмов               Гл. 3

  Приходим к выводу, что представленный столбчатой диаграм-
мой Di базис в корневом подпространстве Ui является жордановым
базисом для л.э. ϕ и что сужению ϕ на Ui отвечает матрица Ji , вид
которой определяется сформулированными в теореме правилами. ¤

  26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корне-
вом подпространстве. Кратко описываемый ниже алгоритм не
является новым. Предыдущий алгоритм 25.1 реализуется примени-
тельно к вспомогательному эндоморфизму ψi = ϕ − λi ε, где λi —
одно из собственных значений для л.э. ϕ, имеющее алгебраическую
кратность mi . Стабильным ядром эндоморфизма ψi является кор-
невое подпространство Ui = Qλi (ϕ). В подпространстве Ui строится
жорданов базис для ψi ; он же будет жордановым для ϕ. На заверша-
ющем этапе формируется блочно-диагональная (mi × mi )-матрица,
отвечающая в найденном базисе сужению ϕ на Ui .

А л г о р и т м 26. 1.
Построение жорданова базиса Gi для л.э. ϕ ∈ L(V )
в корневом подпространстве Ui = Qλi (ϕ) и вычисление
                                                ¯
матрицы, отвечающей в этом базисе сужению ϕ¯U
                                                      i


   1. В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) фиксиру-
ется базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A.
Считается уже известным некоторое собственное значение λi ∈ σ(ϕ).
Рассматривается л.э. ψi = ϕ − λi ε, заданный в базисе B матрицей

                              Bi = A − λi E.

  2. Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.
  Решая однородные с.л.у. Bik x = 0, находим базисы и размерности
для итерированных ядер

                        (k)
                      Ni      = Ker(ψik ) = L0B k .         (26.31)
                                                i

                                                          (k)
   Размерности (итерированные дефекты) обозначаются di ; пер-
вый из них совпадает с геометрической кратностью собственного
               (1)
значения λi : di = ni .
                                (k)            (k)
   Базисы накапливаются в (n × di )-матрицах Fi . Так продолжа-
ется до достижения стабилизации, сигналом о чем служит равенство

Страницы