Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 294 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

294 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Матрица G
(k−1)
i
, содержащая базис в C
(k−1)
i
, находится по фор-
муле
G
(k −1)
i
n×p
(k−1)
i
=
B
i
· G
(k)
i
n×p
(k)
i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
H
(k −1)
i
n×q
(k−1)
i
. (26.34)
Если q
(k−1)
i
= 0, то третья зона в матрице (26.33) и вторая зона
в матрице (26.34) оказываются пустыми. При k = 1 оказывается
пустой первая зона в матрице (26.33).
5. Перенумерация векторов в столбчатой диаграмме. Все m
i
векторов, составляющих столбчатую диаграмму D
i
, следует перену-
меровать по принципу "столбцы диаграммы — слева направо, век-
торы в столбцах — снизу вверх" и в таком порядке занести их в
матрицу
G
i
n×m
i
= (g
1
|g
2
|... |g
m
i
)
. (26.35)
На выход выдаются: (n × m
i
)-матрица G
i
, содержащая жорда-
нов базис G
i
для л.э. ϕ в корневом пространстве U
i
и квадратная
(m
i
× m
i
)-матрица J
i
, отвечающая в этом базисе сужению ϕ
0
i
.
§
§
§ 27. Корневая сумма.
Большая теорема Жордана
27.1. Независимость в совокупности корневых подпро-
странств для л.э. Содержание данного пункта перекликается с со-
держанием § 19. Свойства, аналогичные тем, что в пп. 19.2 и 19.3 бы-
ли установлены применительно к собственным подпространствам,
здесь будут доказаны для корневых подпространств. В частности,
мы получим аналоги предложения 19.3 и теоремы 19.1. (Это будут
предложение 27.1 и теорема 27.2.)
Предложение 27.1. Конечная система
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
k
], (27.1)
составленная из корневых векторов a
i
(i = 1, ..., k) для линейного
эндоморфизма ϕ ∈ L(V ), отвечающих попарно различным собствен-
ным значениям λ
i
∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., k), линейно независима.
Доказательство (как и в случае системы собственных векторов)
проводится индукцией по k.
294    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                     Гл. 3

                 (k−1)                                    (k−1)
  Матрица Gi          , содержащая базис в Ci            , находится по фор-
муле                                        ¯           
                                             ¯
                        (k−1)            (k) ¯   (k−1) 
                     Gi        = Bi · Gi ¯¯ Hi            .          (26.34)
                     n×p
                         (k−1)
                                   n×p
                                       (k)   ¯ n×q
                                                   (k−1)
                          i                   i           i
         (k−1)
  Если qi      = 0, то третья зона в матрице (26.33) и вторая зона
в матрице (26.34) оказываются пустыми. При k = 1 оказывается
пустой первая зона в матрице (26.33).
  5. Перенумерация векторов в столбчатой диаграмме. Все mi
векторов, составляющих столбчатую диаграмму Di , следует перену-
меровать по принципу "столбцы диаграммы — слева направо, век-
торы в столбцах — снизу вверх" и в таком порядке занести их в
матрицу
                       Gi = (g1 | g2 | ... | gmi ) .        (26.35)
                              n×mi

  На выход выдаются: (n × mi )-матрица Gi , содержащая жорда-
нов базис Gi для л.э. ϕ в корневом пространстве Ui и квадратная
(mi × mi )-матрица Ji , отвечающая в этом базисе сужению ϕ0i .



                         § 27. Корневая сумма.
                  Большая теорема Жордана
  27.1. Независимость в совокупности корневых подпро-
странств для л.э. Содержание данного пункта перекликается с со-
держанием § 19. Свойства, аналогичные тем, что в пп. 19.2 и 19.3 бы-
ли установлены применительно к собственным подпространствам,
здесь будут доказаны для корневых подпространств. В частности,
мы получим аналоги предложения 19.3 и теоремы 19.1. (Это будут
предложение 27.1 и теорема 27.2.)
  Предложение 27.1. Конечная система

                                A = [ a1 , a2 , ... , ak ],           (27.1)

составленная из корневых векторов ai (i = 1, ..., k) для линейного
эндоморфизма ϕ ∈ L(V ), отвечающих попарно различным собствен-
ным значениям λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., k), линейно независима.
  Доказательство (как и в случае системы собственных векторов)
проводится индукцией по k.

Страницы