Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 295 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Корневая сумма. Большая теорема Жордана 295
Для k = 1 утверждение выполняется, поскольку любой корневой
вектор (так же, как и любой собственный вектор) является, по опре-
делению, ненулевым.
Предположим теперь, что утверждение предложения справедли-
во для любой с.в., содержащей k корневых векторов, отвечающих k
попарно различным собственным значениям, и докажем его для про-
извольной системы
A
0
= [ a
1
, a
2
, ... , a
k
, a
k+1
]; a
i
∈ S
λ
i
(ϕ), (27.2)
из k + 1 корневого вектора, где снова все собственные значения
λ
i
∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , k + 1) попарно различны.
Предположим, что система (27.2) линейно зависима, и учтем тот
факт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов и
имеющая вид (27.1), будет, в силу предположения индукции, линей-
но независимой.
Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что вектор
a
k +1
, последний из входящих в A
0
, линейно выражается через A,
т. е. найдутся скаляры µ
i
∈ P (i = 1, ... , k) такие, что
a
k+1
= µ
1
a
1
+ µ
2
a
2
+ ... + µ
k
a
k
. (27.3)
Три предыдущих абзаца были скопированы (с небольшой прав-
кой) из текста доказательства предложения 19.3. Ниже начинает
проявляться специфика корневых векторов, понятия более общего,
нежели собственные векторы.
Каждый из векторов a
i
(i = 1, ... , k + 1) отвечает одному из по-
парно различных собственных значений λ
i
, т. е. принадлежит ста-
бильному ядру
U
i
= N
(l
i
)
i
= Ker(ψ
l
i
i
), (27.4)
где ψ
i
= ϕ − λ
i
ε.
Каждый из л.э. ψ
i
имеет свой показатель стабилизации l
i
, совпа-
дающий (см. первое утверждение предложения 26.1) с показателем
нильпотентности для сужения этого эндоморфизма на U
i
; так что
для любого i выполняется ψ
l
i
i
(a
i
) = 0. Все эти показатели не превы-
шают "своих" размерностей m
i
= dim(U
i
) и, подавно, не превышают
размерности n всего пространства V. Поэтому можно утверждать,
что
ψ
n
i
(a
i
) = 0 (27.5)
для любого i = 1, ... , k + 1.
§ 27       Корневая сумма. Большая теорема Жордана                    295

   Для k = 1 утверждение выполняется, поскольку любой корневой
вектор (так же, как и любой собственный вектор) является, по опре-
делению, ненулевым.
   Предположим теперь, что утверждение предложения справедли-
во для любой с.в., содержащей k корневых векторов, отвечающих k
попарно различным собственным значениям, и докажем его для про-
извольной системы

                 A0 = [ a1 , a2 , ... , ak , ak+1 ]; ai ∈ Sλi (ϕ),   (27.2)

из k + 1 корневого вектора, где снова все собственные значения
λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , k + 1) попарно различны.
   Предположим, что система (27.2) линейно зависима, и учтем тот
факт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов и
имеющая вид (27.1), будет, в силу предположения индукции, линей-
но независимой.
   Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что вектор
ak+1 , последний из входящих в A0 , линейно выражается через A,
т. е. найдутся скаляры µi ∈ P (i = 1, ... , k) такие, что

                     ak+1 = µ1 a1 + µ2 a2 + ... + µk ak .            (27.3)

  Три предыдущих абзаца были скопированы (с небольшой прав-
кой) из текста доказательства предложения 19.3. Ниже начинает
проявляться специфика корневых векторов, понятия более общего,
нежели собственные векторы.
  Каждый из векторов ai (i = 1, ... , k + 1) отвечает одному из по-
парно различных собственных значений λi , т. е. принадлежит ста-
бильному ядру
                             (l )
                      Ui = Ni i = Ker(ψili ),                (27.4)
где ψi = ϕ − λi ε.
   Каждый из л.э. ψi имеет свой показатель стабилизации li , совпа-
дающий (см. первое утверждение предложения 26.1) с показателем
нильпотентности для сужения этого эндоморфизма на Ui ; так что
для любого i выполняется ψili (ai ) = 0. Все эти показатели не превы-
шают "своих" размерностей mi = dim(Ui ) и, подавно, не превышают
размерности n всего пространства V. Поэтому можно утверждать,
что
                            ψin (ai ) = 0                       (27.5)
для любого i = 1, ... , k + 1.

Страницы