Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 297 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Корневая сумма. Большая теорема Жордана 297
отличаться: вместо собственных подпространств W
i
= S
λ
i
(ϕ) будут
фигурировать корневые подпространства U
i
= Q
λ
i
(ϕ), вместо гео-
метрических кратностей n
i
собственных значений — алгебраические
кратности m
i
.]
Это позволяет: автору — опустить доказательство, читателям —
получить удовольствие от несложного упражнения по его восстанов-
лению. Но прежде теоремы подлежит переносу определение.
Определение 27.1. Корневой суммой для л.э. ϕ называется сум-
ма всех его корневых подпространств. Используются обозначения:
U
0
=
s
X
i=1
U
i
. (27.10)
и
U
0
= Q(ϕ). (27.11)
(В случае пустоты спектра корневая сумма считается нулевым
подпространством.)
Теперь — собственно теорема, описывающая важнейшие свойства
корневых подпространств для линейного эндоморфизма.
Теорема 27.1. Пусть ϕ — л.э., действующий в конечномерном
линейном пространстве V. Тогда
1) корневые подпространства U
i
= Q
λ
i
(ϕ) [i = 1, ..., s] независимы
в совокупности;
2) корневая сумма является прямой:
Q(ϕ) =
s
M
i=1
Q
λ
i
(ϕ); (27.12)
3) в подпространстве U
0
= Q(ϕ) можно выбрать базис вида
B
0
= [ B
1
, B
2
, ... , B
s
], (27.13)
где все B
i
(i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих корне-
вых подпространствах U
i
;
4) размерность подпространства (27.12) равняется сумме m
0
ал-
гебраических кратностей всех собственных значений:
dim(U
0
) = m
0
=
s
X
i=1
m
i
. ¤ (27.14)
§ 27       Корневая сумма. Большая теорема Жордана               297

отличаться: вместо собственных подпространств Wi = Sλi (ϕ) будут
фигурировать корневые подпространства Ui = Qλi (ϕ), вместо гео-
метрических кратностей ni собственных значений — алгебраические
кратности mi .]
  Это позволяет: автору — опустить доказательство, читателям —
получить удовольствие от несложного упражнения по его восстанов-
лению. Но прежде теоремы подлежит переносу определение.
  Определение 27.1. Корневой суммой для л.э. ϕ называется сум-
ма всех его корневых подпространств. Используются обозначения:
                                      s
                                      X
                                 0
                                U =         Ui .               (27.10)
                                      i=1
и
                                U 0 = Q(ϕ).                    (27.11)
  (В случае пустоты спектра корневая сумма считается нулевым
подпространством.)
  Теперь — собственно теорема, описывающая важнейшие свойства
корневых подпространств для линейного эндоморфизма.
   Теорема 27.1. Пусть ϕ — л.э., действующий в конечномерном
линейном пространстве V. Тогда
   1) корневые подпространства Ui = Qλi (ϕ) [i = 1, ..., s] независимы
в совокупности;
   2) корневая сумма является прямой:
                                     s
                                     M
                         Q(ϕ) =            Qλi (ϕ);            (27.12)
                                     i=1

    3) в подпространстве U 0 = Q(ϕ) можно выбрать базис вида
                        B0 = [ B1 , B2 , ... , Bs ],           (27.13)
где все Bi (i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих корне-
вых подпространствах Ui ;
   4) размерность подпространства (27.12) равняется сумме m0 ал-
гебраических кратностей всех собственных значений:
                                            s
                                            X
                            0         0
                      dim(U ) = m =                mi . ¤      (27.14)
                                            i=1

Страницы