Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 299 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 27 Корневая сумма. Большая теорема Жордана 299
штрихи: жорданов базис во всем пространстве будем обозначать G,
а ж.н.ф. матрицы — просто J.) ¤
Ниже формулируется критерий сущестования жорданова базиса
во всем пространстве.
Предложение 27.2. 1. Жорданов базис для л.э. ϕ ∈ L(V ) су-
ществует во всем пространстве V тогда и только тогда, когда сумма
алгебраических кратностей всех собственных значений для ϕ равня-
ется размерности n = dim(V ).
2. Если поле P алгебраически замкнуто, то жорданов базис во
всем пространстве существует для произвольного линейного эндо-
морфизма.
Доказательство. 1. В одну сторону первое утверждение предло-
жения немедленно следует из теоремы 27.2: если m
0
= n, то U
0
= V
и базис G
0
= G является жордановым для ϕ во всем V.
Докажем обратное утверждение. Пусть в некотором базисе G про-
странства V эндоморфизму ϕ соответствует матрица
J =
J
k
1
(λ
1
)
J
k
2
(λ
2
)
.
.
.
J
k
t
(λ
t
)
(27.16)
блочно-диагонального вида, с ж.я. J
k
i
(λ
i
) (i = 1, ... , t) на диагонали
(среди скаляров λ
i
могут быть повторяющиеся). Переставляя, если
потребуется, базисные векторы, можно добиться того, чтобы блоки
с одинаковыми λ
i
располагались подряд и в порядке убывания их
размеров. Тогда для каждого из попарно различных λ
i
(пусть это
будут, скажем, λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
; s 6 t) сформируется "большой" блок J
i
,
размер которого мы обозначим m
i
.
Полученная матрица (мы сохраним за ней обозначение J) явля-
ется верхней треугольной; на ее главной диагонали расположены
скаляры
λ
1
, ... , λ
1
| {z }
m
1
раз
, λ
2
, ... , λ
2
| {z }
m
2
раз
, ... , λ
s
, ... , λ
s
| {z }
m
s
раз
,
причем m
1
+m
2
+...+m
s
= n; на первой наддиагонали стоят (вообще
говоря, не сплошь) единицы; все остальные элементы равны нулю.
§ 27       Корневая сумма. Большая теорема Жордана                    299

штрихи: жорданов базис во всем пространстве будем обозначать G,
а ж.н.ф. матрицы — просто J.) ¤
   Ниже формулируется критерий сущестования жорданова базиса
во всем пространстве.
   Предложение 27.2. 1. Жорданов базис для л.э. ϕ ∈ L(V ) су-
ществует во всем пространстве V тогда и только тогда, когда сумма
алгебраических кратностей всех собственных значений для ϕ равня-
ется размерности n = dim(V ).
   2. Если поле P алгебраически замкнуто, то жорданов базис во
всем пространстве существует для произвольного линейного эндо-
морфизма.
   Доказательство. 1. В одну сторону первое утверждение предло-
жения немедленно следует из теоремы 27.2: если m0 = n, то U 0 = V
и базис G 0 = G является жордановым для ϕ во всем V.
   Докажем обратное утверждение. Пусть в некотором базисе G про-
странства V эндоморфизму ϕ соответствует матрица
                                                              
                  Jk1 (λ1 )
                                                              
                             Jk2 (λ2 )                        
                                                              
          J =                                                    (27.16)
                                         ..                   
                                              .               
                                                   Jkt (λt )

блочно-диагонального вида, с ж.я. Jki (λi ) (i = 1, ... , t) на диагонали
(среди скаляров λi могут быть повторяющиеся). Переставляя, если
потребуется, базисные векторы, можно добиться того, чтобы блоки
с одинаковыми λi располагались подряд и в порядке убывания их
размеров. Тогда для каждого из попарно различных λi (пусть это
будут, скажем, λ1 , λ2 , ... , λs ; s 6 t) сформируется "большой" блок Ji ,
размер которого мы обозначим mi .
   Полученная матрица (мы сохраним за ней обозначение J) явля-
ется верхней треугольной; на ее главной диагонали расположены
скаляры
                  λ1 , ... , λ1 , λ2 , ... , λ2 , ... , λs , ... , λs ,
                  | {z } | {z }                         | {z }
                     m1 раз     m2 раз             ms раз

причем m1 +m2 +...+ms = n; на первой наддиагонали стоят (вообще
говоря, не сплошь) единицы; все остальные элементы равны нулю.

Страницы