Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 301 стр.

§ 27      Корневая сумма. Большая теорема Жордана              301

ϕ = δ + υ, причем оператор δ, по построению, является диагонали-
зируемым, а оператор υ, как и его матрица, нильпотентен.

  27.3. Жорданова нормальная форма и критерий подобия
для квадратных матриц. Выразим результат предложения 27.2
на "языке матриц".

   Определение 27.2. Будем говорить, что квадратная матрица A
приводима к жордановой нормальной форме (ж.н.ф.), если найдется
ей подобная блочно-диагональная матрица J с блоками — жордано-
выми ящиками.

  Предложение 27.3. Квадратная (n × n)-матрица A с элемента-
ми из поля P приводима к ж.н.ф. тогда и только тогда, когда ее ха-
рактеристический многочлен разлагается на линейные множители,
или, что равносильно, когда сумма кратностей характеристических
корней равна n.
  Над алгебраически замкнутым полем P любая матрица приводи-
ма к ж.н.ф.

   Доказательство. В п. 13.6 объяснялось, что две квадратные мат-
рицы A, A0 ∈ L(n, P ) подобны ( A◦∼◦A0 ) тогда и только тогда, когда
они соответствуют одному и тому же л.э. ϕ ∈ L(V ) в двух базисах
B, B 0 в пространстве V . (В качестве V можно взять арифметическое
линейное пространство P n .) Таким образом, вопрос о приводимости
квадратной матрицы к ж.н.ф. равносилен вопросу о существовании
жорданова базиса для соответствующего оператора и, следователь-
но, как первое, так и второе утверждения предложения 27.3 вытека-
ют из предложения 27.2. ¤

   Замечание 27.2. В том случае, когда ж.н.ф. существует, есте-
ственно задуматься о том, насколько однозначно она определена.
   "Большие" блоки, каждый из которых соответствует одному из
собственных значений, определяются однозначно, если договориться
(как это и делалось выше) размещать "малые" блоки (ж.я.) внутри
"большого" в порядке убывания их размеров.
   В то же время, поскольку данное поле совсем не обязательно несет
какой-либо порядок, то, вообще говоря, не существует естественного
способа упорядочения собственных значений и, как следствие, не
существует естественного порядка расположения "больших" блоков.
   Так что ж.н.ф. матрицы определена неоднозначно.