Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 302 стр.

302    Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

  Впрочем, можно считать, что блочно-диагональные матрицы, от-
личающиеся лишь порядком диагональных блоков, отличаются несу-
щественно. Принято говорить, что ж.н.ф. определена однозначно, с
точностью до перестановки диагональных блоков.
  Гораздо большая неоднозначность имеет место при вычислении
преобразующей матрицы (или, на другом языке, — при отыскании
жорданова базиса). В самом деле, по ходу построения жорданова
базиса приходится (и неоднократно) определять некоторые прямые
дополнения к некоторым подпространствам в некоторых более ши-
роких подпространствах, а это (в нетривиальных случаях) — сугубо
неоднозначная процедура.
   Замечание 27.3. Развивая метафору А. А. Кириллова, мы выше
не раз рассуждали о спектре, как о "душе" линейного оператора, ко-
торая видна по его "фотографии" (матрице), если оператор является
диагонализируемым. Если для оператора существует жорданов ба-
зис (а над "хорошими" полями это всегда так), то спектр "визуально
наблюдается" по ж.н.ф. матрицы этого оператора.
   Следует однако отдавать себе отчет в том, что знания одних толь-
ко собственных значений (т. е. спектра "в чистом виде") в общем
случае не достаточно для описания всех свойств оператора. Надо
иметь полные данные о структуре ж.н.ф. Напомним, что эта струк-
тура однозначно определяется по последовательностям итерирован-
ных дефектов.
   Если мы знаем все характеристические корни λi и для каждого
                                   (k)
из них знаем последовательность di итерированных дефектов, то
мы знаем все о матрице и о соответствующем линейном операторе.
  Рассуждения предыдущего замечания можно перевести из мета-
форической сферы в математическую. С этой целью ниже форму-
лируется критерий подобия квадратных матриц.
  Предложение 27.4. Пусть поле P алгебраически замкнуто. Рас-
смотрим две квадратные матрицы A и B одинакового размера. Сле-
дующие три утверждения равносильны:
  (1) матрицы A и B подобны;
  (2) матрицы A и B можно привести к одной и той же ж.н.ф.;
  (3) матрицы A и B имеют одинаковые спектры, и для каждого из
характеристических корней λi справедливы равенства:
       dfc((A − λi E)k ) = dfc((B − λi E)k ); k = 1, 2, ... .   (27.18)