Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 304 стр.

304    Спектральная теория линейных эндоморфизмов          Гл. 3

   27.4.∗ Комплексификация и овеществление. Обобщенная
ж.н.ф. для действительных матриц. Поле действительных чи-
сел не является алгебраически замкнутым, и, как следствие, в дей-
ствительном линейном пространстве (размерности n > 2) существу-
ют линейные эндоморфизмы, не имеющие жорданова базиса.
   Это равносильно (на матричном языке) тому, что существуют
квадратные матрицы с действительными элементами, не приводи-
мые к ж.н.ф.
   В связи с этим возникает необходимость перехода от линейного
пространства над R к пространству над C. Этот переход должен,
прежде всего, сохранять размерность пространства. Кроме того, он
должен быть таким, чтобы всякому л.э. в данном пространстве соот-
ветствовал определенный л.э. в новом пространстве, имеющий (при
надлежащем выборе базисов) такую же матрицу, что и исходный.
   При изучении вопроса о диагонализируемости л.э. мы уже стал-
кивались с описанной задачей (см. замечание 21.3 и пример 21.2).
Здесь мы опишем конструкцию комплексификации в большей общ-
ности и более подробно, хотя некоторые, достаточно важные, детали
по-прежнему останутся за рамками нашего изложения. Читателей,
заинтересованных в прояснении всех тонкостей данной темы, мы от-
сылаем к учебникам [1] и [2].
   Построение комплексного линейного пространства (как расшире-
ния данного действительного пространства) производится по образу
и подобию построения поля комплексных чисел (как расширения по-
ля действительных чисел).
   Поле C определялось (см. § 31 пособия [A1 ]) как линейное про-
странство R2 со специальным образом введенным умножением. Его
элементы (комплексные числа) представлялись двояко:
   — как упорядоченные пары действительных чисел λ = (α, β);
   — как выражения вида λ = α + βi, где α, β ∈ R.
   Аналогично, имея действительное линейное пространство V , мож-
но образовать внешнюю прямую сумму (см. п. 9.4) двух экземпляров
этого пространства:

                V C = V ⊕ V = {(x, y) : x, y ∈ V }.       (27.22)

  По построению, V C является линейным пространством над R; его
элементы мы таже будем записывать в одной из двух форм:
  — как упорядоченные пары вида (x, y), где x и y являются векто-
рами из V [именно такая запись принята в (27.22)];
  — как выражения вида z = x + iy, где i — мнимая единица.