Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 303 стр.

§ 27        Корневая сумма. Большая теорема Жордана                  303

   Доказательство. 1. Если B = T −1 AT, то (см. предложение 17.1)
совпадают характеристические многочлены и, следовательно, спек-
тры матриц A и B:

                      σ(A) = σ(B) = {λ1 , λ2 , ..., λs }.

   Алгебраическая замкнутость поля P гарантирует их непустоту
(s > 0). Кроме того, подобны характеристические матрицы для A и
B, что, после перемены знака, можно представить в виде равенства
полиномиальных матриц:

                        B − λE = T −1 (A − λE)T.                  (27.19)

  Подставляя в (27.19) вместо переменной λ каждое из собственных
значений λi , мы придем к равенствам

                 B − λi E = T −1 (A − λi E)T ; i = 1, ... , s.    (27.20)

  С помощью элементарной индукции легко убедиться в справедли-
вости (при любом натуральном k) равенств

                     (B − λi E)k = T −1 (A − λi E)k T.            (27.21)

   Но подобные матрицы эквивалентны [см. (13.16)] и, следователь-
но, имеют одинаковые ранги и дефекты. Значит, справедливы фор-
мулы (27.18), и импликация (1) ⇒ (3) доказана.
   2. Собственные значения (если их определенным образом упо-
рядочить) и итерированные дефекты однозначно определяют (см.
замечание 27.2) ж.н.ф. матрицы. Так что, благодаря условию (3),
матрицы A и B могут быть приведены к одной и той же жордано-
вой нормальной форме, т. е. (3) ⇒ (2).
   3. Две матрицы, приводимые к одной и той же ж.н.ф., оказыва-
ются подобными одной и той же матрице и, следовательно, — по-
добными между собой. Таким образом, (2) ⇒ (1), и доказательство
"по циклу" завершено. ¤
  Замечание 27.4. Условие (27.18), выраженное в терминах итери-
рованных дефектов, можно переформулировать, используя итериро-
ванные ранги (напомним, что сумма соответствующих итерирован-
ных дефекта и ранга равняется размерности пространства):

       rank((A − λi E)k ) = rank((B − λi E)k ); k = 1, 2, ... .   (27.180 )