Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 305 стр.

§ 27       Корневая сумма. Большая теорема Жордана               305

  Далее вводится умножение векторов из z ∈ V C на комплексные
числа λ = α + iβ ∈ C. Делается это по формуле

       λ · z = (α + iβ) · (x + iy) = (αx − βy) + i(βx + αy),   (27.23)

ничем (по виду) не отличающейся от формулы (31.21) из первого по-
собия. По сути отличие все же есть: в новой формуле сомножители
не равноправны (λ является скаляром, а z — вектором).
   Для доказательства того, что умножение (27.23) превращает V C
в линейное пространство над C, требуется проверить четыре послед-
них из восьми аксиом линейного пространства (см. п. 1.2 настоящего
пособия). Эта проверка совершенно элементарна и вполне аналогич-
на проверке аксиом поля в [A1 , п. 31.3].
   Пространство V C , рассматриваемое как комплексное, называется
комплексификацией действительного пространства V.
   Пространство V считается вложенным в V C в качестве первого
слагаемого, с помощью отождествления x = (x, 0). Второе слагаемое,
состоящее из пар вида (0, y) = iy = i(y, 0), может быть обозначено iV.
   В соответствии с общим принципом взаимосвязи внешних и внут-
ренних прямых сумм (см. предложение 9.5) будем иметь (внутрен-
нее) прямое разложение

                              V C = V ⊕ iV.                    (27.24)

   Формула (27.24) выражает очень важное свойство комплексифи-
кации V C , которая представляет из себя не просто комплексное про-
странство, но, как иногда говорят (см. [20]), — вещественно-комп-
лексное. Последний термин характеризует комплексные простран-
ства с выделенным прямым разложением в прямую сумму двух изо-
морфных действительных подпространств.
   В вещественно-комплексном линейном пространстве можно опре-
делить операцию комплексного сопряжения векторов, обозначаемую
здесь (в отличие от примера 21.2) не тильдой, а привычной чертой:

                       x + iy = z 7−→ z = x − iy,              (27.25)

свойства которой вполне аналогичны свойствам сопряжения в по-
ле C. Например, для λ ∈ C и z ∈ V C справедлива формула:

                                λz = λz.                       (27.26)