Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 307 стр.

§ 27     Корневая сумма. Большая теорема Жордана            307

   "Встречные" операции комплексификации и овеществления от-
нюдь не являются взаимно обратными. Из изложенного выше доста-
точно ясно, что если после комплексификации произвести овеществ-
ление, то полученное действительное пространство будет изоморф-
но прямой сумме исходного действительного пространства с самим
собой. Мы советуем заинтересованным читателям прочитать в (ука-
занных выше) учебниках о том, что будет, если выполнить сначала
овеществление комплексного пространства, а потом — комплексифи-
кацию того, что получится.
   Здесь же мы займемся комлексификацией линейных отображений
(гомоморфизмов).
   Всякому R-линейному гомоморфизму ϕ ∈ LR (V, W ) одного дей-
ствительного пространства в другое можно сопоставить C-линейный
гомоморфизм комплексификаций

                      χ = ϕC ∈ LC (V C , W C ),          (27.30)

задаваемый формулой

              χ(z) = ϕ(x) + iϕ(y); z = x + iy ∈ V C      (27.31)

и именуемый комплексификацией гомоморфизма ϕ.
   Проверка линейности (над C) отображения (27.31) является эле-
ментарным упражнением [см. формулу (27.23)]. Не доставит вам
больших хлопот также и доказательство свойства

                           χ(z) = χ(z).                  (27.32)

   Из определения (27.31) очевидно, что сужение комплексифициро-
ванного гомоморфизма χ на вешественное подпространство V 6 V C
совпадает с исходным гомоморфизмом ϕ.
   Интересным является вопрос: всякий ли комплексно-линейный
гомоморфизм комплексификаций является комплексификацией ве-
щественно-линейного гомоморфизма исходных пространств? (Ис-
черпывающий ответ можно найти в упомянутых в начале пункта
учебниках.)
   Пусть в действительных пространствах V и W выбраны произ-
вольные базисы. Будучи вложенными в комплексификации, они
станут действительными базисами в вещественно-комплесных про-
странствах V C и W C .