Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 308 стр.

308     Спектральная теория линейных эндоморфизмов              Гл. 3

   Из общего правила составления матрицы линейного отображения
(см. п. 12.2) вытекает тот факт, что в действительных базисах мат-
рица комплексифицированного гомоморфизма совпадает с матри-
цей исходного гомоморфизма.
   Ниже мы ограничимся изучением комплексификаций для линей-
ных эндоморфизмов. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном действи-
тельном пространстве V, в котором выбран базис (27.27), позволя-
ющий сопоставить данному эндоморфизму действительную (n × n)-
матрицу A. В комплексифицированном пространстве V C будет дей-
ствовать л.э. χ = ϕC ; в действительном базисе, полученном вложе-
нием (27.27) в V C , оператору χ будет соответствовать та же самая
матрица A.
   Рассмотрим спектр л.э. ϕ (в поле R):

                           σ(ϕ) = σR (A),                      (27.33)

состоящий из всех действительных характеристических корней для
матрицы A.
   Если количество этих корней (с учетом их кратностей) достаточ-
но, т. е. равняется n, то для л.э. ϕ существует в пространстве V
жорданов базис и матрица A приводима к ж.н.ф. (над полем R).
Никакая комплексификация в этом случае не требуется. (Но если ее
все-таки произвести, то л.э. χ будет иметь действительный жорда-
нов базис.)
   Если же сумма кратностей действительных характеристических
корней матрицы A меньше n, то понадобится переход к комплекси-
фицированному эндоморфизму χ и изучение его спектра:

                           σ(χ) = σC (A).                      (27.34)

   Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел гарантиру-
ет наличие достаточного количества комплексных характеристиче-
ских корней и, как следствие, существование (комплексного) жорда-
нова базиса G в пространстве V C для л.э. χ. В этом базисе операто-
ру χ будет соответствовать (комплексная) матрица J, являющаяся
ж.н.ф. матрицы A.
   Известно (см. [A1 , п. 43.3]), что корни многочлена с действитель-
ными коэффицентами разбиваются на две категории:
   — действительные корни λp , с кратностями mp (p = 1, ... , s) [бук-
ва i занята "комплексными делами", поэтому пришлось здесь и далее
заменить привычный индекс на p ];