Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 310 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

310 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
далее применяется очевидная индукция по k. В конце концов, мы
доберемся до стабильных ядер, т. е. корневых подпространств, и
придем к выводу, что
Q
λ
p
(χ) = Q
λ
p
(χ); p = s + 1, ... , s + t, (27.37)
т. е. корневое подпространство, отвечающее собственному значению,
комплексно сопряженному с данным, состоит из векторов, комплекс-
но сопряженных векторам, принадлежащим корневому подпрост-
ранству, отвечающему данному собственному значению.
Еще более внимательный анализ показывает, что на каждом ша-
ге построения жордановых базисов в корневых подпространствах,
работу алгоритма можно организовать так, чтобы жорданов базис
в Q
λ
p
(χ) состоял из векторов, комплексно сопряженных векторам,
входящим в жорданов базис в Q
λ
p
(χ). Циклические подпростран-
ства, в прямую сумму которых разбивается каждое из двух ком-
плексно сопряженных корневых подпространств, также оказывают-
ся (соответственно) комплексно сопряженными друг другу.
Рассмотрим далее два таких циклических подпространства:
Z =< g
1
, g
2
, ..., g
k
>; Z =< g
1
, g
2
, ..., g
k
> .
Имеют место соотношения:
(χ − λ
p
ε)(g
1
) = 0; (χ − λ
p
ε)(g
u
) = g
u−1
(u = 2, ... , k);
(χ − λ
p
ε)(g
1
) = 0; (χ − λ
p
ε)(g
u
) = g
u−1
(u = 2, ... , k),
(27.38)
или, что равносильно:
ϕ(g
1
) = λ
p
g
1
; ϕ(g
u
) = λ
p
g
u
+ g
u−1
(u = 2, ... , k);
ϕ(g
1
) = λ
p
g
1
; ϕ(g
u
) = λ
p
g
u
+ g
u−1
(u = 2, ... , k).
(27.39)
Сужениям ϕ на подпространства Z и Z отвечают в указанных
(комплексно сопряженных друг другу) базисах жордановы ящики
J
k
(λ
p
) и J
k
(λ
p
) соответственно, а сужению ϕ на прямую сумму
Z ⊕ Z — блочно-диагональная матрица
C
2k× 2k
=
J
k
(λ
p
) O
O J
k
(λ
p
)
. (27.40)
310      Спектральная теория линейных эндоморфизмов                    Гл. 3

далее применяется очевидная индукция по k. В конце концов, мы
доберемся до стабильных ядер, т. е. корневых подпространств, и
придем к выводу, что

                  Qλp (χ) = Qλp (χ); p = s + 1, ... , s + t,          (27.37)

т. е. корневое подпространство, отвечающее собственному значению,
комплексно сопряженному с данным, состоит из векторов, комплекс-
но сопряженных векторам, принадлежащим корневому подпрост-
ранству, отвечающему данному собственному значению.
    Еще более внимательный анализ показывает, что на каждом ша-
ге построения жордановых базисов в корневых подпространствах,
работу алгоритма можно организовать так, чтобы жорданов базис
в Qλp (χ) состоял из векторов, комплексно сопряженных векторам,
входящим в жорданов базис в Qλp (χ). Циклические подпростран-
ства, в прямую сумму которых разбивается каждое из двух ком-
плексно сопряженных корневых подпространств, также оказывают-
ся (соответственно) комплексно сопряженными друг другу.
    Рассмотрим далее два таких циклических подпространства:

               Z =< g1 , g2 , ..., gk >; Z =< g1 , g2 , ..., gk > .

  Имеют место соотношения:
      (χ − λp ε)(g1 ) = 0; (χ − λp ε)(gu ) = gu−1 (u = 2, ... , k);
                                                                      (27.38)
      (χ − λp ε)(g1 ) = 0; (χ − λp ε)(gu ) = gu−1 (u = 2, ... , k),

или, что равносильно:

        ϕ(g1 ) = λp g1 ; ϕ(gu ) = λp gu + gu−1 (u = 2, ... , k);
                                                                      (27.39)
        ϕ(g1 ) = λp g1 ; ϕ(gu ) = λp gu + gu−1 (u = 2, ... , k).

   Сужениям ϕ на подпространства Z и Z отвечают в указанных
(комплексно сопряженных друг другу) базисах жордановы ящики
Jk (λp ) и Jk (λp ) соответственно, а сужению ϕ на прямую сумму
Z ⊕ Z — блочно-диагональная матрица
                                           
                          Jk (λp )    O
                  C =                      .                        (27.40)
                2k×2k        O     Jk (λp )

Страницы